2.13. общее решение системы линейных уравнений в векторной форме
2.13. общее решение системы линейных уравнений в векторной форме
Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в векторной форме:
Ліх1+А1хг + ... + Аяхя = В. (2.13)
Если в системе (2.13) заменить все свободные члены нулями, то получим однородную систему
Аіх1 + А2х1 + ...+Аяхя = в. (2.14)
Систему (2.14) называют приведенной для исходной системы уравнений (2.15).
Произвольное решение X совместной системы уравнений (2.13) определяется формулой
X=F0+XlFl + X2F2 + ... + XkFk, (2.15)
где FQ — какое-нибудь решение системы (2.13); Fu F2, Fk —
Ф
ундаментальная система решений системы уравнений (2.14); і, ... , Хк — произвольные действительные числа, формула (2.15) называется общим решением в векторной форме системы уравнений (2.13).
О Пример. Найти общее решение в векторной форме системы линейных уравнений
Г 2*1+ х2+4х3+ хА=4,
J х2+ хэ + 2х4=4,
I 2*! + 1х2 + 8jc3 — 5х, = — 4.
Общее решение данной системы, найденное методом Гаусса, имеет вид
х.-(5/2)дс2 + (7/2)х, = 6,
(3/2) *2 + *з-(3/2)*4=-2.
Вектор (6,0, — 2, 0) является решением этой системы. Система уравнений
f *,-<5/2)*2 + (7/2)*4 = 0, 1 (3/2)х2+хэ-(3/2)х4 = 0 является общим решением приведенной системы. Выбирая для свободных неизвестных х2 и Х| значения, равные координатам векторов Є| = (1, 0), е2=(0, 1), найдем фундаментальную систему решений приведенной системы уравнений: Fi = (5j2, 1, —3/2, 0), F2 = ( — 7/2, 0, 3/2, 1). Следовательно, общее решение в векторной форме данной системы уравнений имеет вид
2 Л 4. Ортогональные системы векторов
Два вектора называются ортогональными, если их окалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.
О Пример. Система векторов Є| = (1, 0, 0), е2~(0, 1, 0),
е„=(0, 0, I) ортогональна. #
Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
ИСХОДЯ ИЗ ЛИНеЙНО независимой СИСтеМЫ ВеКТОрОВ JC[,V...,
jem+i можно построить ортогональную систему ненулевых векторов уи ут+] по следующим формулам:
Уїхг
Уг= У+х2,
УіУі
У[*т+ Ут*т+>
Ут + 1** Уі Уг Ут + Хт+1УіУ УтУг УтУт
Приведенный способ построения ортогональной системы векторов уі, уг,.... ут+1 по заданной линейно независимой системе х1г
х2, хт+і называется процессом ортогонализации системы векторов xitx2 xm+i.
О Пример. Построить ортогональную систему векторов путем ортогонализации линейно независимой системы xt*=(l, 1, 1, 0),х2 = (0, 1, 1, 1), *э = (0, 0, 1, 1).
Строим систему векторов уи у2, у3:
Уі=х}=(1, 1, 1, 0),
у1=-^У1+Хг=^21Ъ) (1, 1, 1,О)+(0, 1, 1,1)=
УіУі
= (-2/3,1/3,1/3,1),
^з=-^У1-—У2+Хэ = (-1/3)(1, 1, 1,0)-(4/5)х УіУі УгУг
х(-2/3, 1/3, 1/3, 1)+(0, 0, 1, 1)=(1/5, -3/5, 2/5, 1/5). *
Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют длину, равную единице. Если хи х2, х„ — ортогональная система ненуле1 і 1 вых векторов, то — xt, — х2, — х„ — ортонормированная
М хг Ы
система векторов.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы