4.22. непрерывность сложной функции
4.22. непрерывность сложной функции
Пусть задана функция y=f(uu и2, .... ит), определенная на множестве W Я Rm. Пусть, кроме того, каждая из функций ы, =
=gi (*ь х2, х„), u2=g2(xu х2, х„), um=gm (х,, хъ х„)
определена на множестве V ^R" (см. п. 4.4).
Если функции gu g2, gm непрерывны в точке М0 (хь х2; ...
х°)є V, а функция y~f(uu иъ и„) непрерывна в соответствующей точке Р„(м?; и, и°т), где и?=*і (Л/0), u°2=g2 (Л/0), ...
u°m=gm (Mo), то сложная функция
y=fg (Xi, Х2 х„), g2 (х|, х2, xj, ...
gm (х,, х2, х„)]
непрерывна в точке Мй.
В частности, если функция u=g (х) одной переменной х непрерывна в точке х0, а функция y=f(u) одной переменной и непрерывна в точке u<j=g (хо), то сложная функция y=f [g (х)] непрерывна
в точке хо, т. е. lim f(u)= lim fg (x)]=/[lim g (x)]Последняя формула показывает, что, с одной стороны, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции (правое равенство), а с другой стороны, дает правило замены переменной при вычислении пределов непрерывных функций (левое равенство).
О Примеры.
1. lim х pn (х+ 1)—lnx]= lim xln =
X—* + 00 Х-* + 00 X
= lim In(l+-]=ln lim (
1 + ' X
= Ье=1 (см. n. 4.13).
sin их
2. lim
jc-»i X'
X=t + 1
x -»!=>?-
sdn (itf+n)
= lim :
—sin ж /sin ж я Л я я
= hm = —lrra '— ] = (— 1) —.
,_о '('+2) nt t+lj 2 2
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы