3.18. выпуклые конусы в пространстве r"
3.18. выпуклые конусы в пространстве r"
Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие:
если МєК и OL—кЪм, где к^О, то LeK.
Следующие множества являются
выпуклыми конусами в R":
а) множество всех точек пространства R" с неотрицательными координатами;
б) любое подпространство пространства R ;
в) К={М(хь хг, x^eR^ + x]-хЫО, х,>0} (рис. 3.5).
Пересечение выпуклых конусов всегда является выпуклым конусом.
Выпуклый конус' К называется конечным (многогранным), если существуют точки Л/|, М2, Mk такие, что
]OM=Yi^OMi. Я,^0, 1=1, 2, к) «-і J
Например, множество решений однородной системы линейных неравенств
j-i
является конечным конусом в R".
Конечный конус всегда замкнут. Пересечение двух конечных конусов снова является конечным конусом.
Если К — выпуклый конус в пространстве R", то множество
K* = {LeS"OLOM^0 для всех Me К} также является выпуклым конусом в R". Конус X* называется сопряженным (двойственным) конусу К.
В частности, если конус К задается однородной системой линейных неравенств
л
£ ayXj^Q, i=l, 2, т,
то
K* = iL (х,, хъ xH)eR"~Xj=f^atjyb Уі>0 С (-і
Свойства сопряженных конусов
1 °. Сопряженный конус К* всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный к конечному конусу, сам будет конечным.
3°. Если К — замкнутый выпуклый конус, то
К** = К.
3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R"
Пусть V я W — множества в пространстве R". Суммой V+ W называется множество всех точек М eR" таких, что 1
Ъм=ом,л-Ъмъ
где
Например, суммой множества, состоящего из одной точки M0eR2 и прямой / £ R2, проходящей через точку О (0; 0), является прямая, проходящая через точку Мв параллельно прямой / (рис. 3.6).
Свойства суммы выпуклых множеств в пространстве R".
1°. Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством.
2°, Сумма подпространств пространства R" будет подпространством этого пространства.
3°. Сумма выпуклых конусов в R"
является выпуклым конусом, а сумма
конечных конусов — конечным конусом. Имеют место следующие два утверждения: 1) Множество всех решений системы линейных уравнений
л
£ a,jXj=b„ i= 1, 2, m
(если оно не пусто), является суммой множества, состоящего из одной точки и подпространства пространства R".
2) Множество всех решений системы линейных неравенств
Y.OijXjKK i=l,2,...,m,
у-1
является суммой выпуклой оболочки конечного числа точек в пространстве R и конечного конуса.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы