4.24. непрерывность обратной функции
4.24. непрерывность обратной функции
Если функция одной переменной y=f(x) строго монотонна и непрерывна на отрезке [а, Ь], то обратная функция x=g(y) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в точках f (а) и f(b).
Если функция одной переменной у=/(х) строго монотонна и непрерывна на интервале ]а, Ь[ (конечном или бесконечном) и если существуют (конечные или бесконечные) односторонние
пределы с = lim / (х) и о*= lim / (х), то обратная функция
JT-.U + 0 х—Ь-0
х=8 (У) определена, строго монотонна и непрерывна на интервале ]с, а.
4.25. Точки разрыва функции
Пусть функция одной переменной y=f{x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой
ТОЧКИ Х0. ЕСЛИ фуНКЦИЯ /(х) НЄ ЯВЛЯеТСЯ непрерывной В ТОЧКе Хо,
то говорят, что в точке Хо функция терпит разрыв, и точку хо называют точкой разрыва функции.
Точку х0 называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы / (х0 0) = lim / (х)
и /(хо + 0)= lim /(х), но /(х0-0)^/(х0 + 0). В этом случае
наибольшую из разностей между числами /(х0), /(х0-0), /(х0 + 0) называют скачком функции f(x) в точке х0. Например,
для функции / (х) = —-— точка Хо — 0 является точкой разрыва,
І+2іУі
так как в этой точке функция не определена (f (0) не существует). При этом/(-0)= lim /(х) = 1,/(+0)= lim /(х) = 0. Следовательно, точка хо=0 является точкой разрыва первого рода, а разность /(—0)—/( + 0)=1—скачком данной функции (см. рис. 4.3).
Точку х0 называют точкой устранимого разрыва, если конечные односторонние пределы /(х0—0) и /(хо + 0) равны между собой, но не совпадают со значением /(х0), если только оно существует.
ТІ л. rt ч W ПРИ Х*2> '
Например, для функции ]х)-л „ имеем
(1 при х — 2
/(2-0)=/(2 + 0)=Hm х2=4, однако 4=/(2-0)=/(2 + 0)*/(2) =
= 1. Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции / (х) (рис. 4.6).
"6
Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить функцию в точке Хо для того, чтобы она стала непрерывной в этой точке. В рассмотренном примере надо положить g (2)=4 = lim / (х); тогда функция g (х)=
*-*2
fx1 при х^2, „
является непрерывной в точке х0 = 2.
(4 при х = 2
Точку Хо называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов/(х0—0) и/(х0+0) не существует (в частности, бесконечен). Например, для функции f(x) = elx
ok
0 Рис. 4.7
точка х0=0 является точкой разрыва второго рода, так как
/<-0) = 0,Л+0)= + оо(рис. 4.7).
Замечание. Функция п переменных y=f{xu хъ хп) может иметь не только изолированные точки разрыва, а целые множества точек разрывов (линии, поверхности разрывов).
Например, функция/(х}, хг)-
имеет разрыв во
всех точках параболы хг=х] и во всех точках прямой х2 = — xt.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы