10.11. дележи в кооперативных играх
10.11. дележи в кооперативных играх
Дана кооперативная игра Г={К, v], где К={1, 2, г), а г — супераддитивная характеристическая функция множества К.
Предположим, что при распределении выигрыша v (К) между игроками &-й игрок (k = l, 2, г) получил хк единиц выигрыша. Тогда
Xi + ... + Xk+... + xr=v(X). (10.11)
Кроме того, естественно считать, что
«(k)^k=l,2 г. (10.12)
т. е. при распределении выигрыша v (К) каждый игрок должен получить не меньше того, что он мог бы получить, действуя самостоятельно.
Любой вектор х = (хи хк, Xf), удовлетворяющий условиям (10.11) и (10.12), называется дележом в кооперативной игре Г.
В несущественной игре Г —{К, v} существует только один дележ х=(у (1),v (к),v (г)). В существенной игре различных дележей бесконечно много, причем любой дележ в этой игре имеет вид
x=(v (1) + а,, v (к) + ак, .... v (r)+ar),
* г г
где at>0, к=1, 2 г, £ а* = « (К)£ *
Пусть х = (хи хк, .... хг) и j?=(yi, jb ys)~ дележи в кооперативной игре Г={АГ, »}. Говорят, что дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция Р с К такая, что
£ x^v (Р) и х*>;к* при кеР.
кеР
Если дележ jc доминирует дележ у, то среди игроков множества К найдутся такие игроки, которые заинтересованы в том, чтобы дележ у заменить на дележ х.
Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами, называется с-ядром этой игры.
Если дележ х принадлежит с-ядру кооперативной игры, то среди участников этой игры нет игроков, заинтересованных в изменении этого дележа.
Для того чтобы дележ х = (х1зХк,.... хг) принадлежал с-ядру кооперативной игры Г = {К, v}, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции Р с К выполнялось неравенство
В(Р)<£ хк.
киР
(10.13)
О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, «}, где К={1, 2, 3}, «(0) = «(1)=«C2)=«(3)=O, v({l, 2}) = „({1, 3}) = Va, «({2, 3}Н2/з,*({_1,2, 3})=1.
Вектор x = (x!, х2, хэ) является дележом в игре тогда и только тогда, когда
Xi+X2 + Xj=l,
Хі^О, i=l, 2, 3.
Для того чтобы вектор х=(хи х2, х3) принадлежал с-ядру игры Г, необходимо и достаточно, чтобы
!
Х1 + Х2 + ХЪ=1, Х1+Х1>1І2, x2+x3^2h, х^О, 1=1, 2, 3.
В частности, векторы хі = (1І4, 2/3, Viz) и х2—(0, 1/2, 1/2) принадлежат с-ядру игры Г.
10.12. л-ядро кооперативной игры
Дана кооперативная игра Г={К, и}, где К={1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества Ки
Если jc = (x[, jcjt, xr) — некоторый дележ в игре Г, то для любой коалиции Р а К можно рассмотреть число / (Р, х) =
=v (/>) — £ xk, которое называется эксцессом.
кеР
Непустые коалиции игроков Ри Р2, Р2можно расположить в порядке убывания эксцессов:
1(РиХ)^1(Р2,х)>...>1(Р2Г-иХ).
В этом случае вектор
/(*)=(/, (x),l2(xl ...,//_,, (X)),
где 1к(х) = 1{Рк, х), к=, 2, 2r—1, называется вектором эксцессов.
Для любого дележа х существует, и притом единственный, вектор эксцессов I (л).
Говорят, что вектор эксцессов / (х) лексикографически больше вектора эксцессов / (у), если выполняется одно из следующих условий:
/. <*)>/. Су).
/і (5)=/. G) '* (5)=/, tf), 4+. (*)>4+i (у)Дележ Jc называется п^ядром кооперативной игры Г— {К, и}, если вектор эксцессов / (jc) лексикографически меньше любого другого вектора эксцессов.
Основные утверждения о л-ядре кооперативной игры
1°. Для каждой кооперативной игры существует, и притом единственное, «-ядро.
2°, Если с-ядро кооперативной игры Г не пусто, то п-ядро этой игры содержится в с-ядре.
п-ядро кооперативной игры Г = {К, v] можно найти, решив ряд последовательных задач линейного программирования.
О Пример. Дана кооперативная игра Г={К, v}, где
К={1, 2, 3}, v {0)=v ()=v (2) = v (3) = 0, «({l,2})=i,({l,3}) = V2, v({2, 3})=г/„„ ({1,2,3})=!.
Векторы x=(1/A, 2/з, V12) и y=(0, 1/2, V2) являются дележами в игре Г. Соответствующие эксцессы приведены в табл. 10.2.
Тогда
Цх)=еи, 0, -V.2, -V12, -Vt. -V -2/з), - /(P)=(o,o, 0,0, -V3, -V* -V2).
Вектор эксцессов / (x) лексикографически больше вектора эксцессов / (у), так как Ve>0.
Нетрудно проверить, что у=фр является «-ядром
в кооперативной игре Г. #
Раздел XI
ГРАФЫ И СЕТИ
11.1. Основные понятия теории графов
Граф G — это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами.
На рис. 11.1 изображен граф, имеющий пять вершин и шесть ребер.
Если рассматривается множество упорядоченных пар точек, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф G называется ориентированным. В противном случае G называется неориентированным графом.
Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными.
Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. На рис. 11.1 аА и as — параллельные ребра, а а, — петля.
Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. На рис. 11.1 вершина рг и ребро а3 инцидентны друг другу.
Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. На рис. 11.1 plt рг — смежные вершины, а av a4 — смежные ребра.
Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей. Вершина степени 1 называется висячей. Вершина степени 0 называется изолированной. На рис. 11.1 степень вершины р1 равна трем, pt — висячая вершина, р5 — изолированная.
Теорема 11.1. В графе G сумма сгпепе-ней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа:
]Г степ.7?,=2лі,
гдеп — число вершин графа, am — число его ребер. Рис. 11.1
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы