5.12. производная параметрически заданной функции

5.12. производная параметрически заданной функции

Рассмотрим функцию у=/(х). Систему соотношений x = q> (t), у = ф (f), где a < / < /?, называют параметрическим представлением функции y=f (jc), если ф (t)=f[<p (t)] для всех te]a, р. Переменная t называется в этом случае параметром. Если функции <р (t) иф (t) — дифференцируемые и <р' (/)^0, то существует производная у х параметрически заданной функции и

Если, кроме того, существуют у„ и х,„ то

Ухх UA

При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка параметрически заданной функции. Например, если функция y=f(x) задана параметрически соотношениями x = acos3/, ^ = 6sin3 t (— оо < /<со), где а и Ь — положительные постоянные, то у = ЪЬ sin 21 cost, х',= — 3acos2 г sin /. При t^nkjl (к = 0, +1, ±2, ...) производная x,¥=0. Следовательно, при этих значениях t получаем

у, ЗА sin1 (cos t b

у *== --—г— = — 1в'х, За cos t smt a

Далее,

r=[ -»tgf) = [--tgr} t

a J x a J, acos21 x 3a1 cos* l sin t