21.10. паутинообразная модель рынка

21.10. паутинообразная модель рынка

Опишем еще одну модель, учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке.

Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:

s(t) = ap(t 1) + 6,

d(t) = —mp(t) + п.

Здесь п > b > О, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > О, так как функция предложения возрастающая; т > О, так как функция спроса убывающая.

Таким образом, если спрос s(t) равен предложению d(t), то получим линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

mp(t) + ap(t — 1) = п — I).

Частным решением этого уравнения является константа

_ п — b

V = —— •

т + а

Решая характеристическое уравнение т Л + а = 0, находим его а

корень Л = .

т

Общее решение разностного уравнения имеет вид

р(') = с

Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.

При этом, если — < 1, то (——) —^0 (t Є N) и p(t) —> p. Последовательность цен сходится к равновесному состоянию.

При т = а значения p(i) чередуются вокруг равновесного значения р.

„ а . Если — > 1, то т

V га)

—> оо (равновесие неустойчиво). В ре-

альности бесконечно возрастающих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.