5.3. раскрытие неопределенности вида —
5.3. раскрытие неопределенности вида —
00
^ тт -і тт « г 2Ж5 + 10Ж
V Пример 1. Найти lim 5-.
Решение. При х —> оо числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж4 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):
2ж5 + 10ж 2х + 10/х3
Inn j == I mi —-—-j— =
ж^оо §x +X x^oo 5 + 1/Ж
'2-oc + 10/oc3 /00 + О
1 — ' ' = 00.
5 + 1/00 J ъ + о
2x100 + 10x
V Пример 2. Найти lim 1ПП QQ .
Решение. При непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем неопределенность вида оо/оо. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж100 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):
ж2 х100 + 10 х 2 + 10/ж" 2 + 0 2
lim ——гт^ птг = пні >оо 5ж100 + ж" ж^оо 5 + 1/ж 5 + 0 5
(при ж ^ оо слагаемые 10/ж" и 1/х — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). А
2 х10 + 10 х2
V Пример 3. Найти lim Тл
х^оо 5 х + ж
Решение.
2 ж10+ 10 ж2 /оо 2/ж + 10/ж9 0 + 0 0 .
lim Тл ^— = — = lim — = = = 0. А
ж->оо 5ЖІІ + ЖУ оо/ ж^оо 5 +1/хг 5+0 5
Вообще, предел отношения полиномов при х —> оо равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше знаменателя.
х +1 ж+3
V Пример 4. Найти lim .
ж^+оо 2 X + 1
Решение.
2ж + 1/ ^^o2x + iy V2y
2 л/ж + 5 yfx
ш (л±1)« . (lim -±L)SS.& .(if. о.*
V Пример 5. Найти lim . „. .
x^°° /3х 2 + л/2 ж З
Решение. В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция f(x) = ns/pn~{x) •) где Рп(х) — многочлен степени п, стремится к бесконечности так же, как и функция 1л/х™ . Это позволяет выделить высшую степень ж, входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень х. В данном примере надо делить на у/х; тогда получим
2л/ж + 5 \[х
lim
ж->°о л/3 ж 2 + л/2
2 + 5/v^3 2 2л/3
= lim = = -р= —-—. А
ж-^ос . 3/ 3 л/Ч 3
л/3 2/х + V(2^-3)/x2 Vt5
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы