14.2. область определения, предел и непрерывность функции двух переменных

14.2. область определения, предел и непрерывность функции двух переменных

Область определения. Множество всех значений независимых переменных х и у, для которых определена функция z = = /(ж, у) (для которых она вообще имеет смысл), называется областью определения этой функции.

Например, область определения функции

z = 1 — х — у

есть вся плоскость Оху, так как соответствующая формула имеет смысл при всех значениях х и у. Формула

1 х2 у2 ^ 0.

Поэтому соответствующая функция определена лишь в круге

х2 + у2 ^ 1.

Предел функции двух переменных. Говорят, что последовательность точек Рп с координатами хП1 уп стремится к точке Pq с координатами #о, Уо, если последовательность расстояний dn точек Рп от точки Pq стремится к нулю при п —> оо. Таким образом, последовательность точек Рп стремится к Pq, если

Говорят, что zq есть предел функции /(ж, у), где (ж, у) стремится к (жо, 2/0)^ если для каждой последовательности точек уп), отличных от (жо, Уо) и стремящихся к (жо, Уо), последовательность f(xn, уп) стремится к zo при п оо.

Это записывается следующим образом:

lim f(x,y) = z0

X —» Хо

У ^ Уо

или

f(x, у) -> z0, при (ж, у) -> (ж0, г/о)•

V Пример 1. Найти lim (1 — х — у).

х 1

у ^2

Решение, lim (1 — ж — у) = 1 — 1 — 2 = —2. А

ж 1

V Пример 2. Найти lim у/ — х2 — у2 .

х О

Решение, lim J — х2 — у2 = л/1 — О — О = 1. А

х О у^О

Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций в точке (жо, У о) равен сумме (разности) пределов этих функций в той же точке, т. е. если при (ж, у) (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а, д(х, у) -> Ь,

то

f(x, у)±д(х, у) -> а±Ъ.

Теорема 2. Предел произведения двух функций в точке (жо, Уо) равняется произведению пределов этих функций в этой точке, т. е. если при (ж, у) (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а, д(х, у) -> Ь,

то

f(x, у) • д(х, у) -> а-Ь.

Теорема 3. Предел частного двух функций в точке (жо, Уо) равняется частному пределов этих функций в той же точке (при условии, что ни значение функции-делителя в окрестности этой точки, ни значение предела этой функции не равны нулю), т. е. если при (ж, у) (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а, д(х, у) -> Ь,

то при условии, что д(х, у) ф О и Ь ф 0; имеем'.

f(x, У) _^ а 9(х,у) Ь'

Говорят, что функция z = /(ж, у) непрерывна в точке (жо, 2/о)5 если она определена в этой точке и если

lim /(ж, у) = /(ж0, уо),

X —> Хо

У ^Уо

т. е. если значение функции /(ж, у) в точке (жо, Уо) равно пределу функции в этой точке.

Другими словами, функция z = f(x, у) непрерывна в точке (жо, 2/0)5 если бесконечно малым изменениям значений х и у соответствует бесконечно малое изменение значения / (ж, у).

График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и проколов. Функция z = /(ж, у) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Например, функция z = 1 — ж — у непрерывна везде, так как lim /(ж, у) = 1 х0 уо = /(ж0, уо).

X —> Хо

У ^ Уо