Введение

Введение

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах; термин «математика» происходит от греческого слова «матема», означающего «знание», «наука».

Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Сначала появилась необходимость в подсчете запасов пищи, пройденного времени, затем понадобилось рассчитывать площади обрабатываемых земель. С появлением цивилизации появились приемы проектирования и расчетов возводимых сооружений. Математические знания помогли древним создать и сохранившееся до наших дней одно из Семи чудес Света — знаменитые египетские пирамиды.

С древних времен математика используется и в создании орудий и техники. Крепость Сиракузы долго оборонялась благодаря изобретениям великого математика и механика Архимеда. Сегодня без математики немыслимо не только создание оружия, но и запуски космических аппаратов и моделирование новейшей техники.

Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 3 не связано неразрывно с каким-либо определенным содержанием. Оно может относиться и к трем планетам, и к трем рублям, и к трем социальным группам. Точно так же методы, изложенные в этой книге, применимы и в физике, и в экономике, и в социологии. Они помогают предсказывать и затмения, и инфляцию, и рост населения.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотъемлемой частью мировоззрения. Книга «Начала» Евклида, заложившая фундамент классической геометрии, сильно влияла на представления об устройстве нашего мира. А открытие неевклидовой геометрии и теории относительности сразу перевернуло наши представления о нем. Не случайно Эйнштейн подчеркивал важность математики в постижении природы. Он писал: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов».

Изучение законов общества и экономики также невозможно без математики. Подтверждением этого может служить тот факт, что с использованием математических методов связаны работы практически всех экономистов XXв., удостоенных Нобелевской премии по экономике (Л. Канторович, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Р. Солоу, Д. Хикс, Д. Нэш, Р. Зельтен).

В истории математики можно наметить четыре периода.

Период зарождения математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до V в. до н. э.

Период элементарной математики, математики постоянных величин; он продолжался приблизительно до конца XVII в.

Период математики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении и развитии; продолжался он приблизительно до XIX в.

Период современной математики; характеризуется обобщением понятий функции, трехмерного пространства и алгебраических операций и рождением на этой основе новых дисциплин (теории обобщенных функций, функционального анализа, теории групп и т. п.). В XX и XXI вв. новый импульс на развитие математики оказывает также создание и совершенствование компьютеров и вычислительных методов.

Математический анализ развивается на протяжении всех четырех периодов.

Название «математический анализ» — сокращенное видоизменение названия «анализ посредством бесконечно малых». В эту дисциплину входят теория действительного числа, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление, а также их непосредственные приложения.

В первый и второй периоды математики математический анализ представлял собой совокупность разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении — это задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким.

Как отдельная дисциплина математический анализ зародился лишь в XVII в., когда начался новый период в развитии математики — математика переменных величин. Произошло изменение содержания и характера науки. В математику вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла.

Теория пределов составляет основу математического анализа. Именно с помощью предела принято определять такие важнейшие понятия как производная, дифференциал, ряд, определенный и несобственный интегралы. Поэтому первый раздел книги посвящен теории пределов. Такой порядок изложения в книге связан с современными требованиями математической строгости. Исторически же порядок был как раз обратным. Дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в XVII в. и развивалось в XVIII, находя многочисленные и важные приложения; а его база — теория пределов — была разработана французским ученым О. Коши в начале XIX в.

Теория пределов является для студентов сложным и не самым любимым разделом математики. Думается, что во многом это происходит потому, что ее важность не до конца ими осознается. Поэтому в книге мы рассказываем и о том периоде математики, когда анализ существовал без строгого определения предела.

Математики в XVII и XVIII вв. не знали пределов и пользовались отбрасыванием бесконечно малых высокого порядка. Это приводило к верным результатам (например, при вычислении мгновенных скоростей и площадей сложных фигур). Однако это же порождало серьезные споры о законности подобных операций. Критики анализа говорили о том, что его результаты получены «при помощи фокуса», поскольку считали, что математики, предположив сначала бесконечно малое существующим, затем отбрасывают его как вовсе несуществующее. Понятие мгновенной скорости критиковалось, например, и так: «Ньютон говорит о скорости точки в данный момент времени. Но точка есть отсутствие пространства, а момент — отсутствие времени, а там, где нет пространства и времени, нет и движения. О какой скорости идет речь?» Как только не называли мгновенную скорость — и «отношение ничего к ничему», и «действительное произведение из ничего, умноженного на нечто».

Споры возникали и по поводу того, что понимать под «суммой»

1-1 + 1-1 + 1-1 + ...?

Одни утверждали, что «сумма» равна нулю, поскольку (1_1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + ...= о,

другие — единице:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + . . . = 1 + 0 + О + . . . = 1.

Возник кризис математики. Он был преодолен в начале XIX в. созданием понятия предела. Именно использование предела помогло преодолеть затруднения, существовавшие в математическом анализе. После введения этого понятия были обоснованы операции, используемые в анализе бесконечно малых, стало ясно как понимать «бесконечные суммы» и мгновенную скорость, как обосновать формулы вычисления площадей, получавшиеся «с помощью сомнительных средств — взаимной компенсацией погрешностей».

Поэтому необходимо внимательнее отнестись к замечательному понятию предела — этому спасителю математического анализа, и проследить, как с его помощью удалось устранить недоразумения, разрешить парадоксы, объяснить «фокусы» XVII и XVIII вв.

Для современного математического анализа характерно обобщение известных понятий и появление на их основе новых направлений науки. Обобщение понятия функции породило теорию обобщенных функций. Выяснение общих свойств алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений привело к созданию теории операторов. Появились и другие новые ветви анализа. Они находят все более широкое применение в исследовательских методах экономики и социологии.

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи: быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.

Произошедшие изменения диктуют необходимость познакомить с некоторыми из пакетов и включить в пособие примеры их использования для вычисления пределов, производных, интегралов и решения других задач математического анализа.

Пакеты составлены различными исследовательскими группами. Например, пакет Maple создан университетом Ватерлоо (штат Онтарио, Канада) и Высшей технической школой (Цюрих, Швейцария), Mathematica — фирмой Wolfram Research, MathCad — фирмой MathSoft, Inc., MathLab — компанией MathWorks, a Axiom имеет английские корни.

По каждому из пакетов выпущены соответствующие книги, журналы, электронные справочники и компакт-диски. Для подробного ознакомления с пакетами можно использовать также соответствующие WWW-серверы Интернета. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствующие адреса серверов:

Maple http: //www.maplesoft.com MathCad http://www.mathsoft.com MathLab http://www.mathworks.com; http://www.softline.ru

Надо хорошо представлять все возможности и недостатки пакета символьных вычислений. При недостаточном ознакомлении с пакетом и методами решения пользователь может сделать неверный вывод. Поэтому в пособии показано как различия в методах влияют на скорость сходимости и круг решаемых задач (см. п. 12.8, в котором рассмотрены различия трех приближенных формул вычисления определенного интеграла).

Символьные анализаторы являются лишь инструментом, который помогает тем, кто сам хорошо владеет математикой и способен предвидеть возможные недоразумения. Поэтому изучение математического анализа продолжает оставаться неотъемлемой частью подготовки любого специалиста.

Математический анализ богат символическими обозначениями. Важно правильно называть и записывать соответствующие символы. Буквы русского алфавита в обозначениях, как правило, не используются. Основу математической символики составляют буквы латинского и греческого алфавитов. Поэтому ниже для справки приведены употребляемые в математике латинские и греческие буквы и их названия.