5.4. раскрытие неопределенностей вида сх) — сх) и 0 ос
5.4. раскрытие неопределенностей вида сх) — сх) и 0 ос
Неопределенности вида 0 • оо и оо — оо путем преобразова0 оо
ния можно привести к неопределенности вида или —, которая
О оо
раскрывается уже известными способами.
Покажем на примерах, как находятся такие пределы.
х2
V Пример 1. Найти lim
яГ4оо х — 1 х2 — 1, Решение. Произведем вычитание дробей, получим
, х х2 х (х +1) — х2 X
пш ^ = пш —-—^— = lim
ж—too у х — 1 х — 1 7 ж—>-оо х — 1 ж—>-оо х — 1
= lim —г^ = = 0. А
х^ос 1 1/х2 1-0
V Пример 2. Найти lim (л/х2 + 6 х + 5 — ж) . Решение.
lim ( ух2 + 6 ж + 5 — х ] = (оо — оо) =
ж->-оо V / 4 '
i^s/х2 + 6х + 5 — • ^д/ж2 + 6х + 5 + x^j
х^°° у/х2 + 6 х + 5 + ж
ж2 + 6ж + 5 — ж2 ж2 + 6ж + 5 — ж2
= пш — = = lim
6 ж + 5
= 11 г г і
ж^°° у/х2 + 6 х + 5 +
ж
л/і + б/ж + б/ж2 +1 VT + 1
V Пример 3. Найти lim (ж sin — ) .
ж—>-оо х
Решение.
г 1 / ъ т. sin± /0 r sin у 1
lim х sin — = f оо • (J) = I mi —т^= I I = Inn = 1
ж—)>oc x x^oo _L V () / >-0 2/
ж
(сделали замену у = —). А
Задача. Найти lim (1 — х) tg -—.
ж—>4 2
Ответ: 2/7Г.
5.5. Раскрытие неопределенностей вида 1°°, оо° и 0°
Рассмотрим последовательность {ап}, где ап= [1 +
п,
Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени п должно повлечь неограниченное возрастание целочис-( 1 V
ленной функции ( 1 Н— I . Но рост показателя компенсируется
тем, что основание 1 + — стремится к 1. В результате последоп
вательность {ап} оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность име( 1 V
ет конечный предел. Предел, к которому стремится 1 Н— , при п —> оо обозначается е :
lim (l + = е.
п^-оо у п )
Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно 2,71828:
е « 2,71828.
Функция f(n) = I 1 Н— ) имеет пределом число е не только
при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргумент п может принимать как положительные, так и
отрицательные значения, лишь бы п неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим букву п буквой х и напишем:
или короче
ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-1783) — математик, механик и физик. Родился в Базеле, в Швейцарии, и учился там у Иоганна Бернулли. Он был членом Академий в Берлине и в Санкт-Петербурге, и прожил в России в совокупности 31 год. Был похоронен в Петербурге, оставив своей второй родине, наряду с выдающимися трудами, многочисленных потомков, представители которых носят и сегодня славную фамилию Эйлер в Петербурге и в Москве.
Одной из отличительных сторон творчества Эйлера является его исключительная продуктивность. За первые 50 лет издательской деятельности Российской Академии наук (с 1729 до 1780 г.) Эйлеру принадлежит 60\% всех ее публикаций по чистой и прикладной математике. Последние 13 лет жизни он работал в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и тг). Сфера научных интересов Эйлера всеобъемлюща: его труды — это энциклопедия точных наук XVIII века. Свыше 800 его научных работ составят 72 больших тома все еще незавершенного «Полного собрания трудов», издаваемого в Швейцарии с 1911 г.
Российской Академией наук учреждена золотая медаль имени Эйлера.
V Пример 1. Найти пределы:
lim (1 + 2ж)5/
ж-^0
Решение.
a) lim +
ж—)>ос у х J (I00) = lim (1 + -іж->-оо у x/b
)
(ж/5)-5
(*/5)'
1 5
(*/5)'
= lim
ж—>оо
1 +
ж/5
lim 1 + ^7
= Є
/і б-(1/ж)-(2/2)
6)11т(1 + 2хр = (1»)=11т(1 + —
1/(2ж)"
10
= lim
1/(2ж)-Юо
1 +
(2х)
1 Ю
/ ! 1/(2ж)"
lim 1 + ——
1/(2ж)->оо V (2ж)
= е10. А
V Пример 2. Найти пределы:
2х 1
ж->-оо 2х + 3
4ж+1
б) lim ж—)>ос V 1
+ Х
Решение.
2ж — 1
а) При х —> оо основание степени стремится к единице,
Ах ~~ о
а показатель 4х + 1 стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1°°. Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:
2х-1 2ж + 3-4 _ -4
2ж + 3 2ж + 3
2ж + 3'
тогда
ж^-сю 2х + 3 = ж'Д^о 11 + (2ж + 3)/(-4)
4ж+1
2ж+3 (~4)-(4ж+1) -4 ' (2ж+3)
-16ж-4
(2х+3)/(-4У
-16ж-4 2ж+3
™ 1+ (2ж + 3)/(-4)
= Є
б) lim f-^-V = (І00) = lim f
ж->-оо + ж/ ж->-оо у
1 + X
Неопределенности вида 1°°, оо° и 0° можно свести к неопределенности вида 0 • оо следующим образом:
lim #(ж)-1п/(ж) 0
lim f(x)9^ = lim e2W-in/(*) = ex
x—Ya ж—Yd
V Пример 3. Найти пределы:
а) lim a^/fl"*);
ж—>-+oo
б) lim Ж3/0ПЖ).
ж^+0
Решение.
— р ж —>--оо
a) lim ж1/*1"*) = (оо°) = +~ 1пж
б) lim ж3/(1пж) = (0°) = еж^+0
Замечание. Для раскрытия неопределенностей иногда удобнее оказывается метод Лопиталя-Бернулли, основанный на использовании производной. Поэтому после изучения производной будут рассмотрены новые примеры вычисления пределов.
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы