6.2. функции в экономике

6.2. функции в экономике

В экономике многие зависимости могут быть заданы как функции одной переменной у = f(x).

Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента:

Функция спроса от цены товара. Обозначим через х цену товара, через у — спрос на товар. Тогда функцию спроса часто можно выразить аналитически (т. е. в виде формулы):

У = f{x).

Например,

200 -Зх У = —~, У = е 6х. х + 2

Функция цены от спроса товара. Если х — спрос на товар, у — цена товара, то у = f(x). Например, у = Зж-0'8.

Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса, если цена — функция спроса.

Например, если х — спрос, цена то выручка •

Суммарные издержки производства F и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) / — функции от объема производствах: F = F(x), f(x) = F(x)/x.

Например, F(x) = 5х + 300, f(x) = 5 + 300/ж.

Сумма денежного вклада в Сбербанке у — функция от времени х, которое хранится вклад: у = у(х).

Например, у = 100(1,03)ж.

Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

В некоторых экономических задачах, например, в задачах о денежных вкладах в Сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые «сложные проценты».

Мы говорим, что имеем дело со сложными процентами в том случае, когда величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определенное число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени.

Рассмотрим случай, когда в конце каждого этапа времени начисляется одно и тоже постоянное количество процентов р\%.

Некоторая величина Л, исходное значение которой Ло, в конце

Р ( Р

первого этапа будет равна а = л0 + — л0 = л0 ( 1 + —

В конце второго этапа — а2 = а ^1 + j^J = Aq (^1 + -^^j .

В конце третьего этапа — Л3 = а2 ^1 + ^^ = Aq(^1 + и т. д.

Ясно, что в конце п-го этапа

А» = А^1 + ш."

Эта формула показывает, что величина А растет (или убывает, если р < 0) в геометрической прогрессии, первый член которой

р

равен Aq , а знаменатель — величина yl +

V Пример 1. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 10 денежных единиц под сложный процент, ставка которого 3\% .

Решение. Зависимость суммы А от количества лет п, которое хранится вклад, первоначально равный Aq , определяется формулой

А = А0 (1 + 0,03)ж = Л0(1,03)ж. В данном случае А = 10 (1,03)3 = 10,91927 « 11 ден. ед. А

V Пример 2. Вычислить, в какую сумму обратилась бы копейка в 2002 году, если бы ее положили в сберегательный банк в начале нашей эры под 5\% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся и нет инфляции.

Решение. Согласно приведенной выше формуле

А = Ао(1 + 0,05)п = (1,05)2002.

К концу 2002 года копейка обратиться в (1,05)2002 копеек. 2 40 копеек — это приблизительно десять миллиардов рублей. Наша сумма, однако, в 2103 раза больше; точнее она выражается числом, состоящим из 49 цифр. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара.

Этот результат показывает, что денежные реформы неизбежны. А