5.2. раскрытие неопределенности вида -
5.2. раскрытие неопределенности вида -
Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения jj. В самом деле, пусть f(x) = х2, д(х) = хп, где п —
целое число. Частное этих функций f(x)/g(x) = х2~п при х —> 0 является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при п = 1), или 1 (при п = 2), или оо (при п = 4). Поэтому
выражение и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:
0 0' | 00 | 0 • оо, | оо — оо, | л оо | оо°, | 0°. |
00 |
Как для случая неопределенности вида -, встретившейся при
сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и д(х), а нужно учесть и закон их изменения.
Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.
2 х2 — х
V Пример 1. Найти lim —^ .
ж-ю Xі 2х
Решение. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку
о
получается неопределенность вида -.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы
сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю.
Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на
нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не
принимая этого значения (вспомним, что в определении предела
по Коши ж G 0) U (0, 5)); поэтому до перехода к пределу
можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:
х2-х Л. х(2х-1) 2х-1 1 1
пш —^ = 11 г г і — — = 11 г г і = 11 г г і = -. А
ж-^о х 2х ж-И) х [X -2) ж^о х 2 ж^о 2 2
х2 — 5 х + 6
V Пример 2. Найти lim
ж->з Зж2-9ж
Решение. Пределы числителя и знаменателя при ж —> 3 равны нулю:
lim (х2 5 х + 6) = З2 5 • 3 + 6 = О,
~2 n ,v. о о2
Нт(ЗаГ-9 ж) = 3-3^-9-3 = 0.
Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах2 + Ьх + с = а(х — х) (х — #2), где х и Х2 — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на (х — 3), получим
ж2-5ж + 6 (х-3)(х-2) ж-2 3-2 1
lim ^ = пш +^ —^ = lim = = -. А
ж->з Зж -9ж ж^з Зж(ж-З) ж->з Зж 3-3 9
п тт о тт г х3 1000
V Пример 3. Найти lim —5 о •
ж-ио х3 20 х2 + 100 ж
Решение.
00.
lim ж3 1000 _ (ж-10) (ж3+ 10 ж+ 100) _
ж-ио ж3 20 ж2 + 100 ж ~~ х-ио х(х-Щ2 ~
_ х2 + 10х + 100 _ /300 _ ~~ ж ™о х [х — 10) ~~ ~0~) ~
V Пример 4. Найти lim
ж-И) V5 ж л/5 + х
Решение. Пределы числителя и знаменателя при х —> 0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель л/5 — х + л/5~+~х и затем, сократив дробь на ж, получим:
ж
х ж (л/5 — ж + л/5 + ж'
lim , , = lim
-►о л/5 ж V5 + ж ж^о (л/5 х л/5 + ж)(л/5 ж + У5 + ж)
ж (л/5 — ж + л/5 + х) л/5 — ж + л/5 + ж /= lim = Inn = —V5 .
ж->о -2 ж ж->о -2
4-х2
V Пример 5. Найти lim . .
х^2 УТТ^ 3
Решение. Когда х —> 2, числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида -. Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:
4-х2 _ (4-x2)(VTT^ +3)
у/ТТх з (у/ТТх з) (у/ТТх + з)
_ (4 x2)(VTT^ +3) _ (2 x) (2 + x) (y/TTx + 3)
7 + x 9
= -(2 + x)(VTT^ +3).
Перейдя к пределу, получим
4 х
lim = lim (2 + x) (V7T^ + 3) = -4 • 6 = -24. A
В предыдущих примерах неопределенность вида — раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. тт sin5x
Например, в случае предела lim неясно, как выделить
х->0 X
общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу
ж-И) х V0
называемому 300 лет назад первым замечательным пределом.
sin ж
Доказательство равенства lim = 1 нетрудно и опирается
х->0 X
на геометрические свойства тригонометрических функций. Здесь оно не приводится.
Заметим, что выражение взято в скобки, поскольку писать jj = 1 нельзя! Скобки в записи ^jj^ подчеркивают ее условность. Равенство (jj j =1 означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.
V Пример 6. Найти lim S*n ^Х.
ж->0 х
Решение.
sin Ъх /0 т к sin Ъх „ sin Ъх „ Л „
Inn = І I = lim 5 • —— = 5 • Inn —— = 5-1 = 5. а
ж->-0 х
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы