14.3. частные производные первого порядка

14.3. частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию z = /(ж, у). Пусть независимая переменная у приняла постоянное значение у = уо, а переменная ж

изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной z = /(ж,уо)-Ее графиком является линия пересечения поверхности z = /(ж, у) и плоскости у = уо (рис. 14.3).

Как мы знаем, производной от функции одной переменной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Поскольку z = /(ж,уо) является функцией одной переменной, ее производная z'x в точке Жо

вычисляется по формуле

z' = lim

Х Аж->0

f(x0 + Аж, уо) Дж0, уо)

Эта производная называется частной производной z'x от функции двух переменных z = f(x, 2/) в точке М(жо, Уо)Частную производную ^ для функции z = /(ж, у) можно вычислить не только при у = 2/о? но и ПРИ ДРУГИХ фиксированных значениях у. Кроме того, можно также определить и частную производную z'y.

Обозначим через Ах приращение переменной х введем также обозначение

Дж^ = f(x + Ах, у) f(x, у).

Приращение Axz называют частным приращением функции z по переменной х.

Аналогично, если переменная у получает приращение Ау, а х остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной у имеет следующий вид:

Ayz = f(x, у + Ау)f(x, у).

Если существует предел

lim = lim П* + Ьс,у)-П*,У)ш

Аж^О Ах Аж^О Ах

то этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной х; она обозначается следующими символами:

Аналогично определяется первая частная производная по переменной у

как предел отношения

lim = lim

Ау->0 Ах Ау^О

f(y, У + Ау) /(ж, у) Ах

О z

Обозначение — читается «дэ зет по дэ икс», z'x читается «зет

штрих по икс». Аналогично читаются обозначения — и zy

dz ^ і

ду

О z 0 z

Заметим, что обозначения частных производных —— и ——

дх ду

отличаются от обозначения производной тем, что для обоах

значения частных производных используется «круглое» d (<9), а для обозначения производной — «прямое» (d).

Как и производной функции одной переменной, частным производным функции двух переменных также можно придать геометрический, механический и экономический смыслы.

В геометрическом смысле производная zx представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой z = f(x, у о), у = у о в точке М(жо, У о )• Другими словами, z'x равна тангенсу угла между касательной и линией, параллельной оси Ох и проходящей через точку М(ж0, г/о).

В механическом смысле частная производная показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента, когда второй аргумент зафиксирован.

Частная производная от производственной функции показывает отзывчивость функции выхода продукта. Другими словами, в экономическом смысле частная производная есть количество продукции, приходящееся на единицу величины одного фактора, при условии, что второй фактор остается постоянным.

Поскольку определение частной производной вполне сходно с определением производной для функции одной переменной, теоремы о производных соответствуют и частным производным функции двух переменных.

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных.

V Пример 1. Найти первые частные производные функции z = х3у2 + 4 х — у3 + 5.

Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:

z'x = (хЗу2 + 4х-уЗ + $ух = у2 (я3)/ + 4ж/-0 + 0 = Зж2у2 + 4.

(Производную (y3)fx приняли равной нулю, поскольку у считаем постоянным числом. В первом слагаемом постоянную у2 вынесли за знак производной.)

Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:

zfy = (x^y2 + 4x-ys + 5)'у = Xs (у2)' + 0 (у3)' + 0 =

= 2х3у Зу2. А

V Пример 2. Найти первые частные производные функции z = 9xy2+4x2-y + 102.

Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:

zfx = (9xy2 + 4,x2-y + 102)'ж = 9 у2 • х + 4(ж2)' 0 + 0 =

= 9у2 + 8х.

Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:

z'y = (9ху2 + 4х2-у + 102)'у = 9х(у2)' + 0 у' + 0 = 18ху 1. А

V Пример 3. Найти первые частные производные функции z = 9xy2+4:X2-y + 102 в точке Р(—1, 2).

Решение. В предыдущем примере было найдено z'x{x, у) = 8х + 9у2, z'y(x, у) = 18ху-1. Вычислим значения этих производных в точке Р(—1, 2): 4(-1, 2) = 8 (-1) + 9 • 22 = -8 + 36 = 28, 4(-1, 2) = 18-(-1)-2-1 = -37. А

V Пример 4. Найти первые частные производные функции z — сх In у + cos у — ех + 2.

Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:

z'x = (ех In у + cos у — sin х + 2)'х =

= (ехУ In у + 0 (sin х)' + 0 = ех In у cos ж.

Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:

z!y = (ех In у + cos у — sin х + 2)у =

= ех (In уУ + (cos уУ О + 0 = ех/у sin у. А

Задача. Найти первые частные производные функции z = = ху х2 -2у2 + х + 10 у -8 в точке Р(2, 0).

Ответ: 4(2, 0) = -3, z'y(2, 0) = 12.