3.2. существование предела монотонной ограниченной последовательности

3.2. существование предела монотонной ограниченной последовательности

При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Введем эти необходимые понятия.

Последовательность {ап} называется постоянной, если ап = = с для любого п Є N, где с — некоторое действительное число (с Є Е).

Последовательность {ап} называется ограниченной, если найдется число М такое, что ап ^ М для всех п Є N.

Последовательность {ап} называется возрастающей (убывающей), если ап ^ (ап ^ a,n+i) Для любого п Є N.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность {ап} называется строго возрастающей (строго убывающей), если ап < ап+ (ап > ап+і) для любого п Є N.

Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными последовательностями.

V Пример 1. Даны последовательности:

1, 2, 3, ... ,п,

2,2,2, ...,2,

1 11- і ■

1 і і -1

1, -1, 1, ...,(-1)", ....

Определить являются ли эти последовательности монотонными.

Решение. Первая последовательность является строго возрастающей, так как ап = п<п + 1 = ап+ для любого п Є N.

Вторая последовательность является постоянной, так как ап = 2 = const для любого п Є N.

Третья и четвертая последовательности являются строго убы11 11

вающими, так как ап = > ——= ап+і и ап = —> —ш =

п п +1 2 2 +

= an+i для любого п Є N.

Таким образом, первые четыре последовательности являются монотонными.

Пятая последовательность не является монотонной, так как последующий член в одних случаях больше, а в других случаях меньше предыдущего. А

V Пример 2. Какие из последовательностей примера 1 являются ограниченными?

Решение. Первая последовательность 1, 2, 3, ...,п, ... не

является ограниченной, поскольку для любого числа М всегда найдется номер N (например, N = [М] + 1), для которого адг > > М.

Поскольку для второй последовательности ап ^ 2, для третьей, четвертой и пятой последовательностей ап ^ 1, то эти последовательности ограничены. А

Доказано, что последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел.

Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Из пяти последовательностей, рассмотренных в примерах 1 и 2, свойствами и монотонности и ограниченности обладают три последовательности — вторая, третья и четвертая. Поэтому они имеют предел.

Теорема 1 дает возможность находить сходящиеся последовательности, но не дает возможности вычислять их пределы. Для вычисления пределов используются другие теоремы. Приведем здесь три из них.

Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность {ап}, где ап = с = const для любого п Є Е. Тогда она сходится и

lim с = с

п—>--ос

(предел постоянной равен постоянной).

□ Возьмем произвольное є > 0 и пусть N — любое число (N Є Е). Тогда Vn > TV, ап а = с с = 0 < е. ■

Из этой теоремы следует, что предел второй последовательности, рассмотренной в примере 1, равен двум.

Теорема 3. Последовательность {ап} с общим членом ап =

— ~^ (а > 0, а Є Е) сходится и

lim —— = 0. а > 0.

/11/а

□ Возьмем произвольное є > 0 и пусть TV = 1-І . Тогда Vn > TV,

п

kn 01 = —< —— =

о)

l/a

= Є

— 01 < є.

Для третьей последовательности из примера 1 показатель степени а = 1 > 0, поэтому предел последовательности равен нулю:

lim — = 0.

Теорема 4. Если q < 1 (q Є {g™} сходится и то последовательность

lim <7П = 0, |<7| < 1.

п—>-+оо

□ Возьмем произвольное є > 0 и пусть TV = logg є. Тогда Vn > TV,

Четвертая последовательность, рассмотренная в примере 1, имеет предел. Найдем его. Общий член последовательности имеет

1 fl вид qn, где q = < 1. Из теоремы 4 имеем lim =0.

2 n—>-+оо V 2 /

3.3. Действия над сходящимися последовательностями

Сформулируем теоремы о действиях над сходящимися последовательностями, которые очень часто облегчают нахождение пределов.

Теорема 1. Если последовательности {ап} и {Ьп} сходятся, то сходится последовательность {ап ± Ьп} и справедлива формула

' ' (3-2)

lim (ап ± bn) = lim ап ± lim bn.

п—>+ос п—>+ос п—>+ос

Краткая формулировка этой теоремы следующая: предел суммы равен сумме пределов.

Для последующих теорем точные формулировки опускаются и приводятся только их краткие формулировки.

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов:

lim (ап • bn) = lim ап • lim bn.

п—>+ос п—>+ос п—>+ос

(3.3)

Теорема 3. Постоянную величину можно выносить за знак предела:

' ' (3-4)

lim (с • ап) = с • lim ап.

п—>-+оо п—>-+оо

Теорема 4. Предел отношения равен отношению пределов:

г—>-+оо Оп

lim ап

п—ї+ос

lim bn

п—ї+ос

(3.5)

(Разумеется предполагается, что знаменатели справа и слева от знака равенства не равны нулю.)

□ Ограничимся доказательством теоремы 1 для случая предела суммы. Пусть lim ап = a, lim bn = b. Возьмем произп—>--ос п—>--ос

вольное число є > 0. Тогда существуют числа N и n2 такие, что при всех п > N ап — а < є/2, при всех п > n2 Ьп — Ь < є/2.

Пусть N\% — число, большее, чем N и Л^. Тогда при п > N3 последние два неравенства истинны одновременно. Поэтому

(ап + Ьп) (а + 6)| = (ап а) + (Ьп Ь) ^

^ ап -а + n -Ь\< є/2 + є/2 = є

(использовано неравенство треугольника для модулей). Следовательно, последовательность ап + Ьп сходится и

lim (ап + bn) = а + b = lim ап + lim bn.

п—>-+оо п—>-+оо п—>-+оо

Остальные правила доказываются аналогично. ■

V Пример. Используя теоремы о действиях над сходящимися

г /Зп + 2

последовательностями, вычислить lim

П^ + ОО п

Решение.

lim (ЇЛ±1) = Hm f 3 + -1 = lim 3 + 2 lim — =

n—>-+oo n J n—>+oc n J n—Y+oc n—Y+oc n

= 3 + 0 = 3. A