16.8. экономия ресурсов
16.8. экономия ресурсов
В предыдущей главе (с. 305) были рассмотрены методы поиска экстремумов функции двух переменных. В настоящем параграфе рассмотрены некоторые приложения этих задач к задачам экономии ресурсов.
V Пример 1. Рассчитать размеры параллелепипеда так, чтобы при заданном объеме V = 1м3 площадь его поверхности была минимальной. В качестве приложения эту задачу можно сформулировать иначе: рассчитать размеры коробки так, чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда
высота h вычислится из соотношения 1 = xyh, т. е. h = —.
ху
Составим функцию площади
S = 2xy + 2-^+ 2— = 2xy + 2(+ -), х^0,у^0.
ху ху х у)
Можно предположить, что существуют такие х и у, при которых S достигает наименьшего значения. Задача состоит в том, чтобы найти эти числа.
12 Я. М. Ахтямов
Исследуем на экстремум функцию
S = S(x, y) = 2xy + 2(j+ ^j
двух переменных х и у (если бы в условии задачи было указано, что основание — квадрат, то S была бы функцией лишь одной переменной):
Найдем частные производные:
2
S'x{x, у) = 2у—,
x
2
S'y(x, у) = 2хУ у
Приравниваем к нулю частные производные
у-^2= 0, х= 0.
х у
Подставим у = 1/ж2, найденное из первого уравнения, во второе уравнение. Имеем
у = —у. х — х = О.
х
На множестве действительных чисел эта система уравнений имеет одно решение:
х = 1, у = 1, h = 1.
Найдем частные производные второго порядка:
Q" kJ XX | 4 ~ Xs' | А = | 4 ЇЇ' | А = 4 > 0, |
qff УУ | 4 | С = | 4 ЇЇ' | С = 4, |
с" ^ ху | = 2, | В = | 2, | |
А = | АС- | В2 | = 12 > 0. |
Так как А > 0, А > 0, то в точке (1, 1) функция имеет минимум: Smin = 5(1, 1) = 2 • 1 • 1 + 2 (і + і) = 6 (м2). А
V Пример 2. Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема V, чтобы на облицовку (дна и стен) потребовалось наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда высота h вычислится из соотношения V = х у /і, т. е. h = V/(ху). Составим функцию площади
2yV 2xV OT, /1 1
S = ху + + = Xy + 2V [+ -) , хф О, уфО
ху ху х у)
(произведение х у, в отличие от предыдущего примера, учитываем лишь один раз, поскольку бассейн не имеет крышки). Исследуем на экстремум функцию
S = S(x,y) = xy + 2V (^ + ^)1) Найдем частные производные:
S'x{x, у) = у -2-^,
X
S'y(x, у) = х-2^.
У у
Приравниваем нулю частные производные
V V у — — = 0. х — 2 —у = 0.
х у
Решение последней системы дает одну стационарную точку
Найдем частные производные второго порядка:
с" ^ XX | -4^, X | А = | = 4 > 0, | |
Q" УУ | У | С = | = 2, | |
г,П kJ ху | = 1, | В = | = 1, | |
А = АС - | В2 = | : 41 = | 3 > 0. |
Так как Д>0, Л > 0, то в точке Pq функция имеет минимум. Если
x=y=ty2V,
то
1 3/
Таким образом, дно бассейна есть квадрат со стороной а глубина бассейна в два раза меньше стороны этого квадрата. А
Задача. Для упаковки продукции требуется изготовить коробку в форме параллелепипеда, объем которой был бы равен V. Дно коробки изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит а денежных единиц. Крышка изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит b денежных единиц. Боковая поверхность изготовляется из материала, каждый кв. см которой стоит с денежных единиц. Определить каковы должны быть размеры всех сторон ж, у, /і, чтобы стоимость коробки Р = Р(х, у, h) была наименьшей.
Указание. Р(ж, у, h) = (а + b) х у + 2 с h (х + у).
Ответ:
![]() |
![]() | ![]() | ||
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы