7.2. определение производной

7.2. определение производной

Рассматривая различные по характеру задачи, мы пришли к пределу одного вида

lim \%L.

Аж^О Ах

Этот предел очень часто используется в различных областях науки. Поэтому ему дали отдельное название — производная. Дадим общее определение производной.

Пусть у = f(x) определена на промежутке X. Дадим значению xq Є X приращение Ах ф 0, тогда функция получит приращение Ay = f(x0 + Ах) f(x0).

Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

/ r Ау у = пш -—.

Аж->0 Ах

Термин «производная» был введен Лагранжем на рубеже

XVIII и XIX вв. Он означает, что производная функции f(x)

есть некоторая функция произведенная (т. е. полученная

по определенным правилам) из данной функции.

ЛАГРАНЖ (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813) французский математик и механик, член Берлинской и Парижской Академий наук. Родился в семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал математику. В 18 лет стал преподавателем училища, в 19 лет — профессором, в 23 года — академиком. Одна из его книг, знаменитая «Аналитическая механика», представляет собой систематическое построение механики методами анализа; в этой книге нет ни одного чертежа — все основано только на формулах. Он сделал массу открытий. Парижская АН пять раз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем.

Нахождение производной называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Производная функции имеет несколько обозначений:

у' (обозначение Лагранжа, читается: «игрек штрих»);

^у- (обозначение Лейбница, читается: «дэ игрек по дэ икс»);

ах

у (обозначение Ньютона, читается: «игрек с точкой»);

Dy (обозначение Коши, читается: «дэ игрек»).

Все эти обозначения используются в современной математике и сейчас. Обозначение Лейбница используется преимущественно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оно удобно, например, при решении так называемых уравнений с разделяющимися переменными). Обозначение Коши используют чаще в теории уравнений математической физики. Обозначением Ньютона пользуются тогда, когда хотят подчеркнуть, что роль независимой переменной играет время.

Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначениями Лагранжа. В тех случаях, когда необходимо указать значение независимой переменной хо, ПРИ котором вычисляется производная, вместо у1 будем писать у'(хо). А в тех случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде значка внизу:

У XI Ґх(хо)В предыдущем параграфе было показано, что тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной и скорость прямолинейного движения выражаются с помощью производной. Эти выражения характеризуют геометрический и механический смысл производной.

Геометрический смысл производной. Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(x) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона, то уравнение касательной у = k х + b к кривой дифференцируемой функции у = f(x) в точке хо можно записать следующим образом:

у = у'{х0) • х + Ь.

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.

Механический смысл производной. Для функции у = f{x), меняющейся со временем х, производная у' = f'(xo) есть скорость изменения у в момент хо.

ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед, член Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук. Родился в Лейпциге. В 17 лет защитил диссертацию на степень бакалавра, в 18 лет — магистра философии и в 20 лет — доктора права.

Лейбниц является одним из создателей анализа. Он изобрел также определители и сконструировал вычислительную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет посвятил Лейбниц усовершенствованию своего изобретения. Именно поэтому его можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он первым нарушил вековую традицию писать научные труды только на латинском языке.

Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие.

В философии Лейбниц явился завершителем философии XVIII века, предшественником немецкой классической философии. В физике он развивал учение об относительности пространства, времени и движения. Лейбниц установил в качестве меры движения «живую силу» (кинетическую энергию) — произведение массы тела на квадрат скорости. В языкознании создал теорию исторического происхождения языков, дал их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Является одним из создателей научного лексикона. С именем Лейбница в науке связано также много других открытий и гипотез.

НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643-1727) — английский физик и математик, член Лондонского королевского общества (с 1672) и его президент (с 1703).

В своем грандиозном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Ньютон намечает программу построения методов анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем, формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается открытиями в области дифференциального и интегрального исчисления. В алгебре ему принадлежит метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы об отделении корней, о приводимости уравнений и т. д.

В физике Ньютон обосновал справедливость закона всемирного тяготения всеми известными в то время астрономическими фактами и вычислил на основе его траектории тел, которые двигаются в разных условиях в поле тяготения; выдвинул корпускулярную теорию света, в которой рассматривал свет как поток особых корпускул (частиц), испускаемых источниками света. Ньютон первым обнаружил, что пучок белого света можно разложить в пучки монохроматического света (дисперсия света), и показал, что сложный состав белого света является одной из причин искажения изображения в оптических системах, в частности в телескопах. Стремясь обойти этот недостаток телескопов, сконструировал первые зеркальные (отражательные ) телескопы.