7.3. схема нахождения производной
7.3. схема нахождения производной
Из определения производной следует схема ее нахождения:
Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается исходное (начальное) значение функции f(x).
В точке х аргументу придается приращение Ах / 0 и выписывается новое (наращенное) значение функции f(x + Ах).
Вычисляется приращение функции Ay = f(x + Ax) — f(x).
Составляется отношение
Ах
Находится предел этого отношения при Ах —> 0 (если этот предел существует).
Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных.
Производная постоянной величины. Пусть дана функция у = с. Найдем ее производную.
Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем
исходное значение функции f(x) = с.
В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = с.
3. Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) —
-f(x) = c-c = 0.
4. Составляем отношение = ——= = 0.
Ах Ах Ах
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' =
Ау
= lim —— = lim 0 = 0.
Дж^О Ах Аж^О
Итак, производная постоянной величины равна нулю:
7 = о.
Производная функции у = х. Пусть у = х. Найдем производную.
Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = х.
В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = х + Ах.
Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) — — f (х) = х + Ах — х = Ах.
а гл Ау Ау Ах Л
Составляем отношение ——: —— = —— = 1.
Ах Ах Ах
Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у1 = = lim ^ = lim 1 = 1.
Аж^О Ах Аж^О
Таким образом, производная функции у = х равна единице:
~х' = 1.
Производная функции у = ж3. Пусть у = х3. Найдем производную.
Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = ж3.
В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = (х + Ах)3.
Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ax) — f(x) = = (х + Ах)3 х = xs + Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3 х3 = = Ах (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2).
Ау Ау
Составляем отношение -—: -— = 3 х2 + Зх Ах + (Ах)2.
Ах Ах
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' =
= lim ^ = lim (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2) = 3х2.
Дж->0 Ах Дж->0 V v / /
Таким образом, получаем
(х3)' = 3х2.
Эта схема нахождения производной полезна для начального обучения. По мере ее усвоения необходимость в подробных записях пропадает. Поэтому в дальнейшем при нахождении производной будем придерживаться этой последовательности, но не будем расписывать ее так подробно.
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы