Глава 11 неопределенный интеграл 11.1. неопределенный интеграл

Глава 11 неопределенный интеграл 11.1. неопределенный интеграл

Определение. Пусть функция f(x) есть производная от функции F(x):

F'(x) = f(x).

Тогда F(x) называется первообразной для функции f(x). Функция Зж2 есть производная для функции ж3:

(х3)' = 3х2.

Поэтому по определению функция ж3 является первообразной для функции Зж2.

Функция 4 ж3 есть производная для функции х4:

(х4у = Ах

По определению функция х4 является первообразной для функции 4 ж3.

Первообразной для функции 5 х4 служит функция ж5, так как

{хъу = 5 х4.

Функция f(x) = Зж2 является производной функции F(x) = = х3. Но она также является и производной функции F(x) = = х3 + 1, поскольку

(х3 + l)f = 3х2 = f(x).

Поэтому функция 3 х2 имеет не одну первообразную. По определению функции F(x) = х3 и Fi(x) = х3 + 1 являются ее первообразными. Функция F2(x) = х3 + 2 также является первообразной для Зж2. Более того, любая функция вида

ж3 + С,

где С — произвольное число, также является первообразной для функции f(x) = Зж2, так как

(х3 + С)' = 3х2.

Таким образом, функция Зж2 имеет бесчисленное множество первообразных.

Аналогично, в общем случае, если F(x) — некоторая первообразная для / (ж), то поскольку

(F(x) + C)' = F'(x) = f(x),

функция вида F(x) + С, где С — произвольное число, также является первообразной для f(x).

Остается вопрос, имеет ли функция f(x) другие первообразные, которые не описываются выражением вида F(x) + С. Ответ на него дает следующая

Теорема. Если F(x) и F2(x) — первообразные для функции f(x) в некотором промежутке X, то найдется такое число С', что справедливо равенство

F2{x) = F1(x) + C.

□ Поскольку

{F2(x) Fi(aO)' = F&x) F^x) = f{x) f(x) = 0,

то по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что F2(x) Fi(x) = С или F2(x) = F^x) + С.Ш

Из данной теоремы следует, что если F(x) — первообразная для функции /(ж), то выражение вида F(x) + С, где С — произвольное число, задает все возможные первообразные для f(x).

Определение. Наиболее общий вид первообразной для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается J f(x) dx. Таким образом:

f(x)dx = F(x) + C,

где F(x) — некоторая первообразная для f(x), С — произвольная постоянная.

Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным.

Знак J называется знаком интеграла, функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, переменная х — переменной интегрирования.

Обозначение J f(x) dx читается так: «интеграл эф от икс дэ икс».

Знак J (вытянутая буква S), введенный Лейбницем, происходит от начальной буквы латинского слова Summa (сумма), а термин интеграл, введенный учеником Лейбница Якобом Бернул-ли — от латинского слова integralis (целостный). И знак, и термин были введены для того, чтобы отличить «сумму бесконечно малых» от обычной суммы. По другому предположению, Якоб Бернулли произвел термин от латинского integro (приводить в прежднее состояние, восстанавливать).

БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Якоб (1654-1705) — самый знаменитый из трех выдающихся поколений математиков Бернулли (Базель, Швейцария), применившими и развившими дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница. Он был также автором первого трактата по математической теории вероятностей.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Из множества первообразных данной функции f(x) только одна может принимать данное значение b при данном значении аргумента х = а. Если известен интеграл

f(x)dx = F(x) + C,

то соответствующее значение постоянной С находится из соотношения

b = F(a) + C.

V Пример. Найти ту первообразную от функции Зж2, которая принимает значение 6 при ж = 2.

Решение. Имеем:

3x2dx = x3 + C.

(11.1)

Постоянную С находим из соотношения 6 = 23 + С. Получаем С = —2. Подставляя в (11.1), находим искомую первообразную функцию

у = X

2.

Геометрически задачу можно сформулировать так: найти ту интегральную кривую функцию Зж2, которая проходит через точку (2, 6). Искомая линия есть кубическая парабола. А

Задача. Найти ту первообразную от функции ^ж, которая принимает значение 3 при ж = 2.

Ответ: Fix) = х2 + 2. 4 ' 4