18.6. решение дифференциальных уравнений с помощью пакета maple
18.6. решение дифференциальных уравнений с помощью пакета maple
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется команда
>dsolve(eqns,vars,option);
Здесь eqns — дифференциальное уравнение (или система) относительно неизвестных функций vars, a option — дополнительные условия, позволяющие указать метод решения задачи (например, type=numeric — для численного решения).
Если дополнительных условий нет, то Maple пытается найти аналитическое решение задачи, так как по умолчанию принято, что type=exact. При этом решение будет содержать неопределенные константы, изображаемые _С1, _С2, ....
Для задачи Коши в уравнение (уравнения) eqns нужно включить также начальные условия.
V Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения
у"' -у" + у' -у = х2 + х.
Решение.
>dsolve(diff(у(х),x$3)-diff(у(х),х$2)+ diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х,у(х)); у(х) = -l-3x-x2+ CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ
То же можно решить также и в два этапа:
>eqn:=diff(у(х),х$3)-diff(у(х),х$2)+
diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х:
у(х) = -l-3x-x2+ CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ
Этот результат совпадает с ответом, полученным в примере п. 18.5. А
V Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка
У(4)-У' = 8е*,
удовлетворяющее условиям
2/(0) 1, у'(0)=0, у"(0) = 1, у"'(0)=0.
Решение. Обозначим заданное дифференциальное уравнение через eqn и решим его:
>eqn:=diff(у(х),х$4)-у(х)=8*ехр(х): >dsolve(eqn,y(x));
1-3 (еж)2 + cosxex + 2 smxex + 2хе2х ех Vх '
В полученной дроби поделим числитель на знаменатель: >expand(");
е~х 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х
(вообще команда expand(11) раскрывает скобки).
Этот результат совпадает с ответом, полученным в задаче 2 п. 18.5. А
С помощью команды dsolve можно решать и дифференциальные уравнения, рассмотренные в гл. 17
V Пример 3. Решить уравнение Бернулли
ху у = х3у2.
Решение.
>dsolve(x*dsolve(diff (у(х) ,х) -у=х~3*у~2,у(х));
1 _ _1 ж4-4_С1 у(х) 4 х
Результат вычисления совпадает с ответом
_ 4ж У~ АС-х"
приведенным при изучении уравнения Бернулли. А
Экономический план можно представить себе как численное решение конкретной системы уравнений общего равновесия.
В. Леонтьев
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы