18.5. линейные дифференциальные уравнения высших порядков

18.5. линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным неоднородным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

У(п)+ pi(x) у^~1) + р2(х) у^~2) + ...+

+ pn-i(x)yf + Рп(х)у = f(x), (18.21)

где Рі(х) (і = 1, 2, ... , n), f(x) — заданные функции.

Если правая часть уравнения (18.21) f(x) = 0, то получаем уравнение

У(п) + pi(x) y^n~l) + p2(x) у^~2) + ...pn-i(x) у' + рп{х) у = О,

(18.22)

называемое линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (18.21).

При отыскании общего и частного решений уравнений (18.21) и (18.22) важную роль играет понятие линейной зависимости и независимости функций у(ж), у2(х), ..., уп(х).

Определение линейной зависимости и независимости для двух функций у и у2 было дано на с. 374. Приведем более общее определение, пригодное для любого конечного числа функций.

Функции у(ж), у2(х), ..., Уп(х) называют линейно зависимыми в интервале (а, 6), если существуют постоянные числа /іі,

••• 5 Дп5 не все равные нулю, такие, что

п

Уі(х) = О

t=l

для любых х Є (а, Ь). Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда все ці = О, то функции Уі(х) называются линейно независимыми в интервале (а, 6).

Совокупность п линейно независимых решений

1/1 (ж), У2{х), уп{х)

уравнения (18.22) называется фундаментальной системой решений. С ее помощью строится общее решение однородного уравнения (18.22). Справедлива следующая

Теорема 1. Если у\{х), У2(х), ••• ? Уп(\%) ~ любая фундаментальная система решений уравнения (18.22), то функция

п

2/одн = Сі г/і(ж) + С2у2(х) + ... + Сп уп(х) = ^Сі Уі(х),

t=l

где Сі — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (18.22).

Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного уравнения). Общее решение линейного неоднородного уравнения (18.21) имеет вид

У = 2/одн + у,

где г/одн — общее решение соответствующего ему однородного уравнения (18.22), а у — одно из частных решений уравнения (18.21).

В общем случае не существует метода отыскания фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Только в частном случае, когда в уравнении (18.21) все коэффициенты Рі(х) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Этот метод, основанный на использовании характеристического уравнения

kn + pi kn~l + Р2 кп~2 + ... + Рп-1 к + рп=0,

аналогичен методу, изложенному в предыдущем параграфе для дифференциального уравнения второго порядка.

V Пример. Найти общее решение однородного уравнения

у"' -у" + у' -у = х2 + х.

Решение. Находим общее решение однородного уравнения у"' -у" + у'-у = 0. Характеристическое уравнение

ks к2 + к 1 = О можно переписать так:

(к 1) (к2 + 1) = 0,

откуда находим действительный корень к = 1 (соответствующий уравнению к — 1 = 0) и числа а = 0, и /3 = 1 (соответствующие уравнению Л;2 + 1 = 0, не имеющему действительных корней). Тогда

Уодн = С ех + С2 cos ж + Сз sin ж.

В правой части заданного уравнения имеется многочлен второй степени и етх = е°'х = 1. Так как число т = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение у следует искать в виде многочлена второй степени, т. е.

у = Ах2 + В х + С.

Определим производные у1у" и у'" и подставим в левую часть заданного уравнения:

у' = 2 Ах + В, у" = 2 А, у"' = 0, 0-2А + 2Ах + ВАх2-Вх-С = х2 + х,

или

-А х2 + (2 А В) х + (-2 А + В С) = х2 + х.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему

'-а = 1, і 2А В = 1, -2 А + В С = 0.

Решение этой системы дает: А = — 1, В = —3, С = — 1. Следовательно, частное решение

у = —х2 — 3 х — 1,

а общее решение

у = С ех + С2 cos х + Сз sin х — х2 — 3 х — 1. А

Задача 1. Найти частное решение уравнения

іГ + у' = е2*,

удовлетворяющее условиям:

у(0)=0, у'(0) = 0, у"(0)=0.

Ответ: у = — + cos х — + — е .

2 5 5 10

Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка

yW-y = &ex, удовлетворяющее условиям:

у(0) = -1, у'(0) = 0, у"(0) = 1, у"'(0) = 0.

Ответ: у = е~х — 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х.