21.6. рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения

21.6. рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения

В соответствии с законом Мальтуса (21.1) численность населения должна расти экспоненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Хотя имеющий в настоящее время место «демографический взрыв» представляет собой серьезную опасность для человечества, дифференциальное уравнение (21.1), разумеется, слишком упрощенно изображает реальную ситуацию, и его решение далеко от истинного течения процесса. При использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения. Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часто приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны.

Для преодоления противоречия с реальностью необходимо принять во внимание эти факторы и соответствующим образом модифицировать модель роста.

Дж. Кьютелет предположил, что к в уравнении (21.1) должна быть не постоянной, а убывающей функцией, зависящей от y(t):

y'(t) = k(y)y(t). (21.5)

На основании этого в 1836 г. его ученик Ферхюльст предложил использовать для роста населения уравнение

(21.6)

т. е. считать, что

k(y) = a(l-f-).

V Пример 1 (рост населения Земли с учетом насыщения). Определить как будет меняться рост населения Земли y(t) в условиях насыщения.

Решение. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Решим это уравнение. Разделяя переменные в уравнении (21.6), находим

dy

= a dt,

М)

или

+ у-^-— ) dy = a dt.

Проинтегрировав это соотношение, имеем

In y-  у = at + In |С|,

т. е.

У =Ceat.

b-y

Отсюда получим, что

(+ bCeat

(21.7)

Таким образом, рост в условиях насыщения описывается функцией (21.7). А

График функции (21.7) называется логистической кривой. Он изображен на рис. 21.2.

Из этого рисунка хорошо видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t

характер роста меняется, темпы роста замедляются. При t —> +оо кривая асимптотически приближается к прямой у = 6, поскольку

= (-) =

at ooJ

(ЬСеаіУ

lim y(t) = lim ^ ^6

= lim

= lim

t^+oc * v J t^+oc 1 + Се

a t

bCaea

t^+oc (i _|_ Ceat)f t^+oc Cae

= b.

Прямая y(t) = b является стационарным решением уравнения (21.6) и соответствует случаю к (у) = а ^1 — ^~j^J — 0Значит, для модели (21.6) объем выпускаемой продукции в единицу времени стремится к конечному значению b («взрыва» не происходит) .

Модель Ферхюльста применяется и к другим социально-экономическим явлениям. Рассмотрим ее применение в сфере экономического роста.

V Пример 2 (рост выпуска продукции в условиях конкуренции). Найти закон роста продукции в условиях конкуренции и насыщаемости рынка.

Решение. По условию задачи, происходит насыщаемость рынка. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщаемости удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Поэтому рост продукции y(t) в условиях насыщаемости рынка будет также описываться уравнением Ферхюльста и соответствующее решение выражаться формулой (21.7). А

В п. 21.5 была описана модель Харрода-Домара, согласно которому экономика имеет устойчивый темп роста. В реальности происходит замедление темпов экономического роста. Так, если период с 1948 по 1973 г. был периодом быстрого экономического роста США, при этом ежегодные темпы производительности труда, например, составляли 2,43 \%, то с 1973 по 1983 г. производительность труда увеличивалась только на 0,75 \% в год. Поэтому логистический рост более точно описывает развитие экономики, чем модель Харрода-Домара.

V Пример 3 (обеспеченность новым товаром). Найти закон обеспеченности новым необходимым товаром (удельный вес семей или людей, владеющих данным товаром) с течением времени.

Решение. Спрос на необходимые товары с течением времени возрастает: сначала медленно, затем быстро и, наконец, снова замедляется за счет насыщения. Это значит, что скорость увеличения спроса прямо пропорциональна обеспеченности и насыщению товаром. Если b — насыщенность товаром (предельное значение обеспеченности товаром), то зависимость обеспеченности от времени выражается дифференциальным уравнением

^ = ky(b-y), (21.8)

т. е. скорость увеличения обеспеченности ^ пропорциональна

достигнутой обеспеченности у и необеспеченности (Ь — у).

Легко заметить, что уравнение (21.8) является уравнением Ферхюльста, записанным в другой форме. А

V Пример 4 (модель «социальной диффузии»). Определить как с течением времени меняется число сторонников некоторого новшества.

Решение. Рынок информации, так же как и рынок товаров, подвержен насыщению. Поэтому число сторонников новшества изменяется согласно закону Ферхюльста. В определенный момент времени наступает насыщение и эффективность от рекламы и агитации снижается. Количество сторонников некоторого новшества с течением времени стремится к постоянному числу. А

В социальных науках уравнение Ферхюльста используется для описания распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации (рекламы), культурных новшеств. Правда, при изучении социальных групп, это уравнение чаще именуют уравнением Дж. Коулмена, который применительно к социальным группам уточнил смысл коэффициентов а и b из уравнения Ферхюльста. Он предложил следующее уравнение:

Отметим, что эмпирические исследования 1) подтверждают, что распространение сторонников новшеств изменяется согласно уравнению Ферхюльста (Коулмена).