9.5. выпуклость функции. точки перегиба

9.5. выпуклость функции. точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если соответствующая часть графика расположена выше касательной, проведенной в любой точке промежутка.

Аналогично, график дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вверх в промежутке, если соответствующая часть кривой расположена ниже любой касательной (рис. 9.13).

У

У

х

X

0

Рис. 9.13. Выпуклость вниз и выпуклость вверх

Теорема 1 (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции у = f(x) в данном промежутке X положительна,

то график ее является выпуклым вниз в этом промежутке] если f"(x) < О, то график является выпуклым вверх в соответствующем промежутке.

□ Пусть функция у = f(x) такова, что f"(x) > О для всех х из промежутка X. Фиксируем xq Є X, запишем уравнение касательной в этой точке, обозначив текущую ординату касательной через у:

У-/Ы = /'Ы(х-х0). (9.6)

Разложим данную функцию в окрестности xq по формуле Тейлора, приняв п = 2 :

y = f(x) = /Ы + /'Ы (х -хо) + £^(хх0)2, (9.7)

ГДЄ С ЛеЖИТ Между x И Xq.

Из формул (9.6) и (9.7) получаем у — у = ^ (х — xq)2.

Поскольку (х — xq)2 > 0 и по условию f"(c) > 0, то у — у > О, или у > у.

Последнее неравенство означает, что график функции у = = f(x) лежит выше касательной. Следовательно, в промежутке X график функции будет выпуклым вниз.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ■

у" > 0 у" < О

На рис. 9.14 изображены «личики», которые помогут запомнить утверждение доказанной теоремы. Два знака (глаза) личика напоминают, что достаточное условие выпуклости исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта, характеризующая улыбку или грусть, означает выпуклость вниз или вверх.

6 Я. М. Ахтямо]

Первое личико — это «рисунок» первого утверждения теоремы. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то функция выпукла вниз.

Второе личико — это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят ( ), то оно грустит. Значит,

если знак второй производной минус, то функция выпукла вверх.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла в промежутке X, то можно утверждать лишь, что /"(ж) ^ 0 (или /"(ж) ^ 0), х Є X. Например, функция у = х4 выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая производная у" = = 13 ж2 не всюду положительна: //7(0) = 0 при х = 0.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Эквивалентное определение: точкой перегиба графика функции у = f(x) называется точка М(жо, f(xo)), ПРИ переходе через которую меняется направление выпуклости кривой.

Если, например, для х < xq кривая является выпуклой вверх и М(жо, f(xo)) — точка перегиба, то для х > жо кривая становится выпуклой вниз.

Иными словами, точка перегиба графика функции — эта точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону (рис. 9.15).

Из теоремы 1 следует, что у дважды дифференцируемой функции в тех промежутках, в которых вторая производная не равна нулю, не может быть точек перегиба. Отсюда вытекает следующая теорема.

х Теорема 2 (необходимое усло> вие перегиба). Если М(жо, f(xo)) ~

точка перегиба графика функции у =

Рис. 9.15. Точка перегиба = то f"(x0) = 0.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Если при переходе через точку х = xq вторая производная дважды дифференцируемой функции у = f(x) меняет знак, то М(жо, f(xo)) ~ точка перегиба графика этой функции.

□ Пусть f"(x) < 0 при х Є (х0 є, х0) (є > 0) и f"(x) > 0 при х Є (жо, хо + є)? тогда согласно теореме 1 график функции является выпуклым вверх в интервале (жо — є, жо) и выпуклым вниз в интервале (жо, жо + є). Следовательно, при переходе через точку М выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз, т. е. М — точка перегиба. ■

Чтобы найти все точки перегиба графика дифференцируемой функции у = /(ж), надо испытать все те значения ж, в которых вторая производная /"(ж) равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен).

Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то линия имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

V Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций:

а) у = ж3 — 3ж; б) у = ж + ж5/3; в) у = —

1 + х

Решение.

а) у' = Зж2 3, у" = 6 ж, у" = 0 при ж = 0. Если у" < 0

(глаза опущены — —, личико грустит), то функция выпукла

вверх. Поскольку у" = 6 ж < 0 при ж < 0, на интервале (—оо, 0)

функция выпукла вверх. Если у" = 6 ж > 0, то ж > 0. Значит, на

интервале (0, +оо) функция выпукла вниз (глаза блестят + +,

личико улыбается). Поскольку при переходе через точку ж = 0

вторая производная меняет знак, точка О(0, 0) является точкой

перегиба.

б) Найдем производные:

У 3 ' у 9^

Вторая производная нигде не равна нулю и теряет смысл (обращается в бесконечность) в точке ж = 0. При ж < 0 имеем у" < 0 и кривая выпукла вверх, при ж > 0 имеем у" > 0 и кривая выпукла вниз. Вторая производная меняет знак при переходе через точку ж = 0. Поэтому точка О(0, 0) — точка перегиба.

в) Найдем производные:

/ 1-х2 а 3 — ж2

Вторая производная у" равна нулю, если ж = — л/3, 0, л/3 На интервалах (-оо, -V3), (0,V3)

вторая производная отрицательна — следовательно, функция на этих интервалах выпукла

Графики всех трех функций изображены на рис. 9.16. А

Задача. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции у = —ж1/3.

Ответ: Точка перегиба одна — О(0, 0). В интервале (—оо, 0) кривая выпукла вверх, а в интервале (0, +оо) — вниз.

Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой. Оно возникает, например, в математическом программировании. Здесь не может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды.

В случае дифференцируемых функций определения, основанные на понятиях касательной и хорды, совпадают.