4.6. основные теоремы о пределах

4.6. основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и 5(ж) — функции, для которых существуют пределы при х —> а (мы не исключаем случая а = оо):

Yunf(x) = b, Yimg(x) = c.

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

4-6. Основные теоремы о пределах

67

2. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, т. е.

lim (f(x) • g(x)) = lim f(x) • lim g(x).

X—Yd X—Yd

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

lim (с • f(x)) = с • lim f(x).

4. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:

х^а g(x) lim д(х)

В случае, когда lim д(х) равен нулю, но lim f(x) ф 0, теорема

X Yd X Yd

остается верной, если ее истолковать в более широком смысле. Запись lim f(x) = f j (с — число, не равное нулю) следует по<0>

нимать в том смысле, что

lim f(x) = оо.

Таким образом, можно считать

(§)

оо.

Выражение взято в скобки, ввиду условности этой записи.

Аналогичные записи можно ввести и для односторонних пределов:

= +0°'

-О

= —оо,

при с > 0.

V Пример 1. Найти пределы

lim — и lim —.

ж-^-0 x ж-^+0 x

Решение.

lim — = lim — = ( — ) = —оо.

ж-» о 4

ж<0

lim — = lim — = f — ) = +оо. А

ж^+о х -х V+0>

ж—>-0 4 J

ж>0

В случае, когда lim f(x) = О и lim g(x) = О, теорема неприж Yd ж Yd

0 тт

менима, так как выражение является неопределенным. Но

неверного результата теорема не может дать и в этом случае.

«Сокращать» на нуль и писать 1 вместо -, конечно, нельзя. Этот

символ служит сигналом, закрывающим прямой путь подстановки и заставляющим искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей).

5. Если lim f(u) = с, lim g(x) = 6, то предел сложной функ-ции

lim f{g(x)) = с.

6. Если существуют конечные пределы

lim f(x) = b > О, lim g(x) = с,

ж—>-а

имеет место соотношение

^jm)'^ = (^am)^eix) = b

7. йуш в некоторой окрестности точки а (окрестностью точки оо считаем множество достаточно больших х) выполняется нестрогое неравенство f(x) ^ 5(ж), то для соответствующих пределов выполнено нестрогое неравенство:

lim f(x) ^ lim g(x).

(Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство f(x) < д(х), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое.)

8. Если в некоторой окрестности точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и(х) и г;(ж), имеющими одинаковый предел b при х —> а, то функция f(x) имеет тот же предел b :

и(х) ^ f(x) ^ v(x), lim и(х) = 6, lim v(x) = b

lim fix) = b.

x^a J V J

□ Докажем в качестве примера первое свойство. Предположим противное, т. е. что функция f(x) имеет два разных предела b и с:

lim fix) = 6, lim fix) = с, b Ф с.

х^а J V ) ' х^аJ V ) ' '

Поскольку утверждения «число 6 есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины

а(х) = f(x) 6, р{х) = f(x) с

бесконечно малы при х —> а. Вычитая почленно эти равенства, получим

а(х) — (3(х) = с — b ф О,

что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х а, имеем: 0^0. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. ■