4.4. бесконечно малая величина

4.4. бесконечно малая величина

Определение. Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.

V Пример 1. Функция х2 — 4 есть бесконечно малая величина при х —> 2 и при х —> —2. При х —> 1 та же функция не является бесконечно малой, ибо ее предел равен —3. А

V Пример 2. Функция sin х есть бесконечно малая величина при х —> 0 и при х —> тт. При х 7г/2 та же функция не является бесконечно малой, так как ее предел равен 1. А

5 х + 3

V Пример 3. Функция не является бесконечно малой

x + 1

величиной при х —> 1. А

3

V Пример 4. Последовательность — есть бесконечно малая

п

величина, ибо предел этой последовательности равен нулю. А

Из определения бесконечно малой величины следует, что утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны.

5 х + 3

V Пример 5. Уравнение lim = 4 эквивалентно фразе

Х-ЇІ х + 1

5 х + 3

«величина 4 бесконечно мала». А

х + 1

Из постоянных величин лишь нуль является бесконечно малой величиной.

Основные свойства бесконечно малых величин

1. Сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Это свойство и для трех, четырех и вообще любого неизменного числа слагаемых бесконечно малых величин. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением

аргумента, то свойство 1 может потерять силу Так, если имеем п

слагаемых равных —, то при п —> оо каждое слагаемое бесконечно п

мало, но сумма

11 11

+ + ... + = -П

п п п п

равна 1.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую

величину есть бесконечно малая величина.

В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю;

есть бесконечно малая величина.

Эти свойства доказываются по определению. Поскольку они интуитивно понятны и легко запоминаются, доказательства опускаем.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у — бесконечно большая

величина, то — — бесконечно малая: если у — бесконечно малая У

величина, то — — бесконечно большая. У

5

V Пример 6. Величина — бесконечно большая при х —>

х — 1

х — 1

—> 1. Обратная дробь —-— — бесконечно мала при х —> 1. А

о

V Пример 7. Величина tgx бесконечно мала при х —> О,

величина = ctgx бесконечно велика при х —> 0 (вспомните

графики этих основных элементарных функций). А