19.2. система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

19.2. система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Из линейных систем (19.5) наиболее важными, как в теории, так и в приложениях, являются системы с постоянными коэффициентами:

' dyi р /

-j= Pll Уі + Р12 У2 + -.. + Ріп Уп + /і (ж),

^7 = Р21 Уі + Р22 У2 + -.. + Р2п Уп + g б^

dyn dx

= Pnl Уі + Рп2 У2 + -.. + Рпп Уп + fn{x),

где функции fi(x) (і = 1, 2, ... , n) обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале X.

Если все (ж) = 0, то система (19.6) называется однородной, в противном случае — неоднородной.

В матричной форме однородная система выглядит следующим образом:

По-другому ее можно записать в следующем виде:

В более компактной форме последнюю формулу можно записать так:

dY

dx

(19.7)

где Y =

(уЛ

У2

искомый вектор, а Р — численная матрица

Уп/

размера п х п.

Чтобы найти решение системы (19.7), введем пробную функцию

Y = Ze

к х

где

Z =

Подставим ее в левую часть равенства (19.7). Получим

dY _ d(Zekx)

dx dx Отсюда и из (19.7) вытекает, что

PZekx = kZekx

к х

или

Р Z = к Z.

Полученное уравнение — это уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы

det(PкЕ) = 0,

которое называется характеристическим уравнением.

Если все п корней kj характеристического уравнения различны и Zj — соответствующие вектора матрицы Р, то общее решение системы (19.7) имеет вид

Y = J2CjZjek^,

г=0

где j = 1, 2, ... , п.

V Пример 1. Найти общее решение однородной автономной системы

dy2 dx

= 2yi + У2.

= 0;

Решение. Решаем характеристическое уравнение

1-к 2

det(P-kE) =

1-к

(1-к)2 -4 = 0; &i = -l, к2 = 3. Общее решение имеет вид

У = Ci Zie-x + C2Z2 е3х. Для определения собственного вектора

Zi =

*12.

соответствующего собственному значению к = —1, решаем систему

PZx = kx Zi, которую можно записать так:

Отсюда или

/2(^11 + ^12) = 2(2Г11 + z12)J

Так как определитель этой системы равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать zu = 1, a Z12 = — 1, т. е. можно считать, что

Zi =

Для определения собственного вектора

соответствующего собственному значению к = 3, решаем систему

PZ1 = fciZi,

которую можно записать так:

<*<'-*»*>=С Г Д) (£)=•■

Отсюда

/2(-z2i + *22)

^2(^21-^22); иТак как определитель этой системы равен нулю, система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать z\ = 1, a z±2 = 1, т. е. можно считать, что

Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид

Ч:;Н(-')™2СЬ

это означает, что

У1 = С1Є-Х + С2е3х, у2 = -СіЄ-х + С2е3х. ▲

Последняя однородная система может быть решена и другим способом — приведением к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

V Пример 2. Найти общее решение однородной автономной системы

приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной х:

d2yi _ dyi dy2 dx2 dx dx

Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы:

d2yi dyx ( .

+ 4У1 + 2у2. (19.8)

или

d2yi = dyi dx2 dx

Из первого уравнения системы находим у2:

1 dVi 1 (ла а

У2=2^~2У1(19-9)

Подставим в (19.8) вместо у2 в правую часть (19.9), получим

d2yi dy! fl dy! 1

откуда

2 -2-^-3У1 = 0.

dx

Это обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Так как характеристическое уравнение

k2-2k-3 = 0

имеет корни

= -1- &2 = 3,

то

2/1 = Сге-Х + С2е

Зж

(19.10)

Найдем ^ри подставим в (19.9). Получим

^1 = ± (С1Є-Х + С2еЪх) = -С1Є~Х + 3 С2еЪх 

1 dyi 1

= I (-Сге-Х + 3 С2е3х) і (С1Є-Ж + С2е3ж) =

= -Сіе-ж + С2е3ж.

Отсюда и из (19.10), получаем

Методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению можно решать и неоднородные системы.

V Пример 3. Найти общее решение неоднородной линейной системы

^ = -8!/i + 3i/2 + 5e-*,

dy2 dx

= -18^/1 + 7у2 + 12е"

приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной X.

d2yi = g гіг/і 3 rig/2 5с-ж

гіж2 гіж гіж

о d2/2

Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы:

= "8 ^ + 3 (-18 уі + 7 у2 + 12 е~х) 5 е"*,

или

Из первого уравнения системы находим у2'» = ї(^+8»-»«-)<1912>

Подставим в (19.11) вместо у2 в правую часть (19.12) и, приведя подобные члены, получим уравнение

Решаем вначале однородное дифференциальное уравнение

d2yi + dyi _ 2 = 0 гіж2 гіж

Так как характеристическое уравнение

&2 + Л 2 = О

имеет корни

Лі = -2, &2 = 1,

то

1/1 одн = СіЄ-2ж + С2ЄЖ.

Пусть уї = А е~х] тогда уї' = — Л е~ж и щ" = А е~х. Подставив эти значения в (19.13), находим Л = 2 и, следовательно,

УГ=2е-*.

Тогда

Уі = Уі од„ + УГ = Сі е"2ж + С2 е* + 2 е"ж. (19.14)

Чтобы найти 2/2 5 продифференцируем обе части последнего равенства:

dyi

1= -2С1е~2х + С2ех -2е~х.

dx

Найденное выражение для подставим в (19.12). Получим

У2 = 2СіЄ-2х + ЗС2еж + 3е"ж. Отсюда и из (19.14), получаем

Задача. Решить систему уравнений

dy_ dx dy2 dx

= 3 yi + 4 y2

двумя способами: 1) с помощью характеристического уравнения; 2) сведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Ответ:

-Г