Глава 10 применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере 10.1. предельные величины в экономике
Глава 10 применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере 10.1. предельные величины в экономике
Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые из них: предельная стоимость, предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.
Пусть у(х) — затраты на изготовление х экземпляров некоторого продукта. Тогда у'(х) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью.
Согласно определению производной имеем:
// = 11 г г і -—.
Дж->о Ах
Следовательно, можно считать, что производная у'(х) приблиАу д -til
женно равна отношению д—. Положим Ах = 1. На практике
обычно х — очень большое число, так что 1 мала по сравнению с х. Откуда
ч Ау у(х + Ах) — у(х) , ^ч , ч
У(х) ~ = Ад = у(х + !) у№Разность у(х + 1) — у(х) выражает на сколько изменились затраты (издержки) при изготовлении еще одного экземпляра продукции. Поэтому экономисты определяют предельные издержки yf(x) так же, как затраты на изготовление еще одного экземпляра продукции.
V Пример 1. Зависимость между издержками продукции у и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией у = 10х + 50. Определить предельные издержки при объеме продукции х = 100 единиц.
Решение. Предельные издержки выражаются производной у'{х). При х = 100 предельные издержки составят у'(100) = = 10. Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпущенной продукции 100 единиц) на выпуск единицы дополнительной продукции необходимы дополнительные затраты в 10 денежных единиц. Действительно, затраты на выпуск сто первой единицы продукции можно подсчитать и по другому:
2/(101) 2/(100) = 10 • 101 + 50 10 • 100 50 = 10.
Для нашей конкретной задачи (т. е. в случае, когда у является линейной функцией от переменной х) разность у(х + 1) — у(х) совпадает со значением производной у7 (100). В общем же случае (когда функция у(х) может быть нелинейной) при больших х разность у(х + 1) — у (х) совпадает с у'{х) лишь приближенно. А
V Пример 2. Зависимость издержек производства одного из предприятий от объема выпускаемой продукции х выражается формулой
у{х) =40 х -0,03 х3.
Определить средние и предельные издержки при объеме продукции х = 15 ден. ед.
Решение. Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле у = уIх, или в нашем случае
у(х) = 40 0,03 ж2,
откуда
у(15) = 40 0,038225 • 152 = 33,25 ден. ед. Предельные издержки у1 определяются по формуле у'{х) = 40 0,09 ж2, откуда при х = 15 получаем у'(15) = 19,75 ден. ед.
Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек. А
Как видим, предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, предельная величина выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).
Помимо предельных издержек с помощью производной могут быть определены предельный доход, предельная стоимость, предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса и другие предельные величины.
В экономической теории предельные (маржинальные) величины у'(х) принято обозначать через Му(х). Буква М — первая буква английского слова marginal — «маржинальный» (переводится на русский язык словом «предельный»).
Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории.
Пусть х — количество реализованного товара, R(x) — функция дохода, С(х) — функция издержек (затрат на производство товара). Вид этих функций зависит от способа производства, оптимизации инфраструктуры и т. п. Обозначим функцию прибыли за П(ж). Тогда
П(х) = R(x) С(х).
Очевидно, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска ж, при котором функция П(х) имеет максимум. По теореме Ферма в этой точке
П'(х) = 0.
Но П'(х) = R'(x) С'(х). Поэтому R'(x) = С'(х), т.е. если уровень выпуска х является оптимальным для производителя, то МR(x) = МС(х), где MR(x) — предельный доход, а МС(х) — предельные издержки.
Получили известное в микроэкономике утверждение:
Для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны.
Использование в конце XIX в. предельных (маржинальных) величин полностью изменило способы анализа и предмет экономической теории. Экономисты для вывода экономических законов стали охотно прибегать к математическим доказательствам. Произошедшие в результате этого изменения были столь значительны, что их впоследствиии назвали маржиналистской революцией.
V Пример 3 (Максимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается форх3
мулой R(x) = — + 2000000 ж, а функция затрат на производство о
товара — формулой С(х) = 1500ж2. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) С(х),
откуда
х3
Щх) = — 1500 х2 + 2000000 х.
о
Приравнивая производную прибыли
П'(х) = х2 3000 х + 2000000
нулю, получаем уравнение
х2 3000 х + 2000000 = 0.
Корни этого уравнения х = 1000, х<х = 2000. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при х = 1000:
Птах = П(1000) « 833 333 333 ден. ед. А
V Пример 4 (Оптимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х , а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) С(х),
откуда
Щх) = 16 ж -2х2 -1.
Приравнивая производную прибыли П'(х) = 16 — 4 ж нулю, получаем х = 4. Проверка показывает, что эта точка является точкой максимума. Таким образом, оптимальный уровень производства х = 4. При этом значении максимальная прибыль составит Птах = 31. А
V Пример 5 (Оптимизация налогообложения предприятий х) ). Пусть, как и в предыдущем примере, функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х2, а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.
Решение. Пусть t (tax) — налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с х единиц продукции составит Т = = tx. В этом случае функция прибыли будет иметь вид
Щх) = R(x)-C(x)-tx.
Требуется определить: каким должен быть налог £, чтобы величина суммарного налога Т со всей продукции была наибольшей?
Поскольку R(x) = 16 х х , а С(х) = х2 + 1, то функция прибыли имеет вид
Щх) = 16х-2х2 -tx-1.
Как и в предыдущем примере, условие максимума прибыли П'(х) = 0; отсюда получаем значение ж, максимизирующего прибыль с учетом пока неизвестного налога t:
16-4ж-£ = 0, ж = 4-</4.
Подставим полученное значение объема продукции в величину суммарного налога Т = tx. Получим
Т = * (4 — 4/4).
х) Пример взят из книги [19, с. 131].
Найдем теперь условия, при которых величина Т будет максимальной:
T = t(4-t/A),
T'(t) = О, =>. t = 8.
Далее, при t = 8 имеем ж = 4 — £/4 = 4 — 8/4 = 2. Отсюда следует, что при налоге t = 8 максимальная величина прибыли достигается при х = 2:
Птах = П(2) = 16-2-222 -8-2-l = 7,
а оптимальный (с точки зрения налоговой службы) сбор налога
T = t (4 і/4) = 8 • (4 8/4) = 16.
Интересно сопоставить эти цифры (х = 2, Птах = 7) с цифрами при отсутствии налогообложения. При t = О решение задачи на максимизацию прибыли дало следующие результаты (см. предыдущий пример): х = 4, Птах = 31.
Вывод: уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации.
Понятно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога. А
V Пример 6 (Минимизация средних издержек). Доказать с помощью теоремы Ферма экономический закон, согласно которому при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек.
Решение. Уровнем наиболее экономичного производства является такой, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Средние издержки определяются как АС = С(х)/х, т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. По теореме Ферма в точке минимума функции С(х)/х производная этой функции равна нулю. Следовательно,
откуда
или МС
С'-х-С = 0, С' = С/х, АС, что и требовалось доказать.
Вывод: при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек. А
10.2. Использование логарифмической производной в экономике
Пусть y(t) — величина вклада в момент времени t (в годах). Можно ли определить (приближенно) годовую ставку банковского процента р по функции
Если проценты начисляются непрерывно, то, как мы уже знаем из п. 6.4,
y(t) = yoept?100,
где р — ежегодный процент прироста вклада, а г = р/100 — номинальная ставка за год. Найдем логарифмическую производную от величины вклада:
(In y)f = (In уо + rt)' = г.
Вывод: ставка банковского процента г совпадет с логарифмической производной от величины вклада.
Таким образом, логарифмическая производная денежного вклада характеризует его доходность. Это верно и в более общем случае, когда процентная ставка вклада постоянно меняется. В этом случае говорят, что логарифмическая производная денежного вклада выражает его мгновенную доходность.
Рассмотренный пример — не единственное применение логарифмической производной. С ее помощью можно получить мгновенную оценку доходности какого-либо актива.
Пусть A(t) — стоимость некоторого актива А в момент времени £, г — доходность от вложения денег в другие активы. Считаем, для простоты, что г не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив Л? Для ответа на данный вопрос найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше г. Так как мгновенная доходность А совпадает с логарифмической производной его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством
(lnA(t))' > г.
Если это неравенство задает интервал (ti, £2), то актив А следует купить в момент t и продать в момент І2Именно за это время произойдет наибольшее приращение А по сравнению с другими активами.
Относительная скорость (темп) изменения функции у = = f(x) определяется логарифмической производной
T, = (lny)' = ^.
(10.1)
V Пример 1. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением
2/ = -2,5 • t2 + 15 • t + 100,
где 0 < t < 8 — рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.
Решение. Скорость изменения производительности труда выражается производной
y' = -5t + 15,
а темп ее изменения — логарифмической производной
гт, /і ч/ у' -5 £ + 15
Tv = In у) = — = к .
у v У) у -2,5-£2+ 15 -£ + 100
При t = 2 у'(2) = 5, Ту = 1/24 « 0,04.
При t = 7 у'(7) = -20, Ту = -8/33 « -0,24.
Итак, в момент t = 2 ч после начала работы скорость изменения производительности труда составила 5 ед./ч, а в момент t = 7 ч — (—20) ед./ч; относительная скорость (темп) изменения производительности труда составила соответственно 0,04 ед./ч и (—0,24) ед./ч. Знаки плюс и минус указывают на то, что в начале смены (при t = 2) наблюдалось увеличение производительности труда, а в конце смены (при t = 7) — ее снижение. А
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы