Глава 16 использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере 16.1. линейно-однородные производственные функции

Глава 16 использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере 16.1. линейно-однородные производственные функции

При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики. Поэтому в макроэкономике Y рассматривают как функцию двух независимых переменных К и L:

Y = F(K, L).

При моделировании экономической деятельности отдельного предприятия, цеха и т. п. через Y обозначают объем выпускаемой продукции.

Как в макроэкономике, так и в микроэкономике часто предполагают, что при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е.

F(0, L) = 0,

F(K, 0) = 0.

Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз. Математически это можно записать так:

F(mK, mL) = m F(K, L),

m > 0.

(16.1)

Так, если m = 2 (вдвое увеличены затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза.

Функции, обладающие свойством (16.1), называют линейно-однородными.

Наиболее широкое применение имеют две из линейно-однородных функций — функция Кобба-Дугласа и функция с постоянными пропорциями.

Функция Кобба—Дугласа. Функцией Кобба-Дугласа называется производственная функция следующего вида

У = Уп Ка L1

О < а < 1.

(16.2)

ДУГЛАС (Douglas) Пол Говард (1892-1976) — американский экономист. В 1947 г. совместно с математиком Ч. Коббом разработал производственную функцию, получившую впоследствии название функции Кобба-Дугласа. Функция Кобба-Дугласа установила математическую зависимость роста национального дохода от изменений двух факторов производства — капитала и труда. Дуглас совместно с Коббом провел одно из первых эконометрических исследований динамики национального дохода, использовав американскую статистику 20-30-х гг. XX в.

КОББ (Cobb) Чарльз — американский математик, разработавший совместно с П. Дугласом концепцию производственной функции.

При К = 0 результат функционирования экономического объекта

Y = Y0.(). Ьг~а = 0.

К такому же выводу приходим и при L = 0, т. е. оба ресурса абсолютно необходимы.

Если в функции Кобба-Дугласа переменные К и L увеличить в m раз, то в такое же количество раз возрастет и Y.

Действительно, F(m K,mL) = Y0 (m К)а (m L)l~a =

= У0 ma Ka ml~a Ll~a = m F(Ar, L).

Знание параметров Уо и се функции Кобба-Дугласа позволяет делать приближенные прогнозы значений национального дохода. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры функции Кобба-Дугласа: Уо = 1,022, а = 0,5382. При подстановке фактических значений К и L за 1986 год ошибка прогноза составила 3\% .

Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба-Дуг-ласа иногда вводят дополнительный множитель ept, который характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-технического прогресса:

Y = Y0ept Ка ZA

Требование а + (3 = 1 здесь является необязательным. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа с учетом научно-технического прогресса. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., функция имела вид:

у — I е0,0294£ ^0,9749 ^0,2399

Функция с постоянными пропорциями. Функцию с постоянными пропорциями выбирают тогда, когда один из ресурсов производства дефицитен, а второй избыточен. Такая функция содержит в себе понятие рациональной пропорции между двумя ресурсами. Этим объясняется ее использование в балансовых моделях планирования.

Простейшая функция с постоянными пропорциями задается с помощью формулы

y = f(k, t)-y„ mln{£,£}.

Как видно из формулы, если один из ресурсов, например L, избыточен, то его увеличение не является разумным, так как оно не отразится на величине У, а приводит лишь к дополнительным расходам.

Свое название функция получила так потому, что для увеличения Y и недопущения лишних расходов необходимо увеличивать оба ресурса в постоянной пропорции.

Задача 1. Показать, что функция с постоянными пропорциями является линейно однородной, т. е. удовлетворяет соотношению

F(m К, т L) = т F(K, L), га > 0.

Задача 2. Показать, что функция с постоянными пропорциями удовлетворяет соотношениям

F(0, mL) = F(K, 0) = 0.

16.2. Многофакторные производственные

функции и предельная производительность

В предыдущем параграфе предполагалось, что производственная функция является линейно-однородной функцией двух переменных. Такая функция — лишь частный случай производственной функции. В общем случае производственной функцией называется экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей.

Предполагают, что объем производства может зависеть не от двух, а от большего числа переменных жі, х<і, ...хп. Например, можно считать, что национальный доход зависит не от двух переменных: трудовых ресурсов и производственных фондов, а от трех: трудовых ресурсов, производственных фондов и природных ресурсов.

Производственные функции, в которых устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции, — функцией производственных затрат.

Ранее мы предполагали, что производственная функция линейно-однородна. В общем же случае допускается, что производственная функция может быть просто однородной. Требование линейности необязательно.

Функция F = F(#i, Ж2, ... , хп) называется однородной степени к > 0, если

F(mxi, тх2, ... , хп) = тк F(x, х2, ... , жп), к > 0.

Это равенство означает, что с ростом масштаба производства в т раз, объем выпуска возрастает в тк раз. При к > 1 имеем рост эффективности производства. При к < 1 — падение эффективности. При к = 1 (линейно-однородная функция) имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

V Пример 1. Показать, что функция

F(x, у, z)=x2 + y2 + z2

однородна.

Решение. Если т — произвольное число, то F(m х, ту, т z) = (т х)2 + (т у)2 + (т z)2 =

2 2, 22, 22 2 ту (

= т х +т у +т z =т г (х, у, z).

Следовательно, заданная функция есть однородная функция второй степени. А

V Пример 2. Показать, что функция

f(x> у) = ^2

однородна.

Решение. Если m — произвольное число, то

, mx + my х + у -і Р/ ч

F(mx, my) = -2— = —-2 ^ = m У)(m X) —(my) m (х — у )

Следовательно, заданная функция есть однородная функция минус первой степени. А

Функция

F(x, у) = 3 + х + у

не является однородной, поскольку для нее не выполняется соответствующее свойство.

Для производственной функции

Y = F(xi, ж2, ... , хп)

отношение F/хі выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) і-го ресурса, т. е. величину общественного продукта на единицу і-го ресурса. А частная производная

F'x = lim \%Z

Ахі~М AXi

характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность) і-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении і-го ресурса на единицу (при постоянстве других ресурсов).

В экономике иногда используют следующую теорему.

Теорема (Эйлера). Если функция F{x, x<i, хп) есть однородная функция к-и степени, то

Х1 FXl + х2 F'X2 + ... + хп F'Xn = kF.

Из теоремы Эйлера следует, что для линейно-однородной функции (к = 1) Кобба-Дугласа выполняется соотношение

оК оЬ

Вывод: Произведение затрат живого труда на предельную производительность живого труда плюс произведение затрат овеществленного труда на предельную производительность овеществленного труда равняется полной стоимости продукции.

16.3. Повышение урожайности

В предыдущей главе были рассмотрены методы поиска наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области (с. 316). Рассмотрим приложение данных задач к задаче повышения урожайности. Зависимость урожайности кукурузы z (ц/га) от затрат на удобрения х (руб./га) и затрат на семена у (руб/га) выражается следующей формулой (в ценах 1970 г.) 1) :

z = 15,63 ж0'372 2/0'158, х > 0, у>0.

Рассматриваемая производственная функция является произведением двух степенных функций. Она достигает минимума, равного нулю в точках Р(0, у) и Q(x, 0), где х и у — любые положительные числа, и возрастает с возрастанием х и у. О максимуме можно говорить только тогда, когда по условиям производства необходимо учитывать дополнительные ограничения.

г) См.: Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М.: 1971. 2)См. [16, с. 196].

Определим при каких значениях х и у урожайность достигает наибольшего значения, если суммарные затраты на приобретение удобрений и семян х + у равны 2 (соответствует ценам 1970 г.) 2).

Учитывая ограничения х + у = 2, делаем вывод, что область определения функции z = z(x, у) — треугольник, заданный неравенствами

х > 0, у > 0, х + у ^ 2.

Наибольшее значение функции достигается на границе области.

Выразим у через х из равенства х + у = 2 и подставим полученное значение в выражения для производственной функции. Имеем

^ = 15,63 ж0'372 (2 -Ж)°>158. Исследуем полученную функцию на экстремум:

4 = 15,63 (0,372x-°'628 (2 -x)0'158-х0'372 0,158 ( 2 -х)"0'842) =

= 15,63 ж0'372 (2 ж)"0'842 (0,372 х~1 (2-х)0,158) .

Имеем три критические точки х = 0 ^соответствует случаю, когда множитель ж0'372 = о), х2 = 1,404 (о,372х~1 (2 х) -0,158 = О), х3 = 2 ((2 ж)"0'842 = оо), причем Zl = 0 при

х = 0, Z2 = 16,34 при х2 = 1,404, = 0 при жз = 2.

Наибольшим среди найденных трех значений Z{ является z2 = = 16,34.

Таким образом, наибольшая урожайность кукурузы будет достигнута при затратах на удобрения в размере 1,404 руб. и затратах на семена в размере 0,596 руб.