13.5. задача дисконтирования денежного потока

13.5. задача дисконтирования денежного потока

При определении экономической эффективности капитальных вложений возникает задача дисконтирования: определение начальной суммы Aq через время t по ее конечной величине A(t) при процентной ставке р.

Пусть A{t) — конечная сумма, полученная за t лет, и Aq — начальная сумма.

Если проценты простые, то в конце каждого года t сумма A{t) в Сбербанке по сравнению с прошлым годом {t — 1) увеличивается на р \% от начальной суммы А$:

A(t) = A(t-l) + ^-A0.

В первого года начисляется сумма составит

Л(1) = Л0 + 4Л„ = Л0 (l + JL);

в конце второго года

в конце года t:

Поэтому если проценты простые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле

A(t) = A0(l + ^) tGN;

100 j

при непрерывном начислении процентов — по формуле

A(t) = Л0е

100

t Є (0, +оо).

Отсюда получаем, что дисконтированная (в данном случае, начальная) сумма к моменту времени t в случае сложных процентов

A0 = A(t)e

100

Предположим, теперь, что деньги вкладываются в банк не разово, в начальный момент времени t = 0, а постоянно и образуют денежный поток, который выражается непрерывной функцией Ao(t). Тогда (см. п. 12.4) общая сумма вложенная в банк за период времени [О, Т], представляет определенный интеграл

Ud(T) =

A0(t) dt =

pt

A[t)e 100 dt.

Здесь A(t) — ежегодно поступающий доход.

Величина Ud(T) называется дисконтной суммой за период времени [О, Т]. Слово «дисконтный» происходит от английского discount (скидка).

V Пример. Какую сумму следует внести за период [О, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежегодный доход составлял тысячу рублей. Предполагается, что проценты начисляются непрерывно.

Решение. Согласно условию задачи A(t) = 1 при всех t Є (0, Т), поэтому

Ud(T) =

A0(t) dt =

1-е

10t

100 dt =

10e-°'1T + 10 (тыс. руб.).

В частности, при Т = 3 года, имеем

Ud(3) = -10 е-0'1'3 + 10 « 2,59 (тыс. руб.).

Таким образом, чтобы ежегодный доход в течении трех лет составлял 1 тыс. руб. (за три года — 3 тыс. руб.), следует вложить в Сбербанк 2,59 тыс. руб. Прибыль за три года составит 0,41 тыс. руб. За Т = 10 лет

Ud(10) = -10 е-0'1'10 + 10 « 6,32 (тыс. руб.)

(прибыль за 10 лет равна около 3,68 тыс. руб.). А

Задача 1. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял е0'1^ тысячу рублей.

Ответ: Т тысяч рублей.

Задача 2. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял 1 + 0,11 тысячу рублей.

Указание. Применить формулу интегрирования по частям.

Ответ: 20 10 (2 + 0,1 • Т) е"°'1Т тыс. руб.

Раздел IV Функции многих переменных

Именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.

А. Уайтхед