10.5. экономия ресурсов

10.5. экономия ресурсов

Решение некоторых примеров, связанных с экономией ресурсов, нами уже было рассмотрено в предыдущей главе при изучении темы «Разыскание оптимальных значений». Рассмотрим еще один.

V Пример. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью V = 2 л (запас на швы не учитывать).

Решение. Пусть поверхность банки S, радиус основания Я, высота Н. Требуется найти наименьшее значение площади поверхности цилиндра

S = 2тг RH + 2тг R2 (10.10)

при условии, что

тг R2H = V. (10.11) За аргумент удобно принять R. Из (10.10) и (10.11) находим:

8-1^ + **

Найдем производную этой функции:

S'(R) = 2 (--^ + 2тгя).

Аргумент изменяется в промежутке (0, +оо). В этом промежутке имеется единственная критическая точка

R — І/т~"~~ • (10.12) V 2 7г

Она и соответствует наименьшему значению S. Из (10.11) и (10.12) находим:

н= v

ttR2

т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, требуемое для изготовления банки, равно Яаим = 2 тг (R Н + R2) = 6 тг R2 = 3 л/2тгУ2 « 879 см2. А

Кофе, конфеты, мед, сгущенное молоко и другую продовольственную продукцию часто упаковывают в цилиндрические банки. При этом крышка, дно и боковая поверхность банки часто имеют разную толщину или же бывают сделаны из разных материалов (например, полиэтилен, пластмасса, картон и жесть). Предлагаем следующее обобщение предыдущей задачи:

Задача. Пусть каждый квадратный сантиметр крышки цилиндрической банки стоит а денежных единиц, дна банки — b денежных единиц, а боковой поверхности банки — с денежных единиц. Определить каково должно быть отношение высоты Н к диаметру банки D, чтобы при объеме V ее стоимость была наименьшей.

Указание. Объем V равен тт R2 Н. Откуда Я = V/(tt R2). Подставляя это выражение для Н в формулу стоимости P = a7rR2 + b7rR2 + c-27rRH, получим

Ответ: H/D = (а + Ь)/(2с).

Р(Я) = (а + 6)тг R2 + 2cV/R.