11.2. свойства неопределенного интеграла

11.2. свойства неопределенного интеграла: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.

11.2. свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

f(x)dx)' = f(x)

□ (jf(x)dx)' = (F(x) + С)' = F'(x) + С = f(x) + 0 = f(x). I

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d

/(ж) dx^j = /(ж) dx.

□ d (f{x)dx) = I применим определение дифференциала! =

= Q/(#) dx^j dx = (применим свойство 1| = f(x) dx. Ш

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого С:

dF(x) = F(x) + C.

□ Пусть производная функции F(x) равна = J F'{x) dx = f{x)dx = F{x) + С.Ш

Таким образом, согласно свойствам 2 и 3, операции интегрирования и дифференцирования в некотором смысле взаимно

обратны (знаки d и J взаимно уничтожают друг друга, в случае

свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

kf(x)dx = к

f(x)dx,

где к — некоторое число, отличное от нуля.

□ Найдем производную функции g(x) = ^kf(x)dx — к J f(x) dx:

д'(*) = (

к f(x) dx — к

f(x)dxSj =

kf(x)dx^j — к ^ f(x)dx^j =

= (применим свойство 11 = к f(x) — к f(x) = 0.

По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что д(х) = С, и значит

к f(x) dx = к

f(x)dx + C.

Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в последнем равенстве постоянную С можно опустить. ■

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

(f(x)±g(x))dx =

f(x)dx ±

g(x) dx.

Доказательство аналогично доказательству свойства 4. Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.

V Пример. Найти |(4 х3 3 х2 + 2 х) dx.

Решение. Имеем:

(4ж3 -Зж2 + 2x)dx =

(4xs)dx

(3x2)dx +

(2x)dx =

= (x4 + Сі) (x3 + C2) + (x2 + Cs) = x4-x3 + x2 + C,

где С = С і — c2 + C3. Заметим, что здесь нет необходимости выписывать при промежуточных вычислениях постоянное слагаемое для каждого интеграла. Достаточно приписать его после выполнения всех интегрирований. А

Математика для социологов и экономистов

Математика для социологов и экономистов

Обсуждение Математика для социологов и экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

11.2. свойства неопределенного интеграла: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.