8.7. степенные ряды
8.7. степенные ряды
Функциональный ряд
□о
а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)и+ £ а*(х~СУ> (8-4)
где о, (п = 1, 2, ...) и е — некоторые числа, называют степенным
рядом с центром в точке с.
Возможны лишь следущие три случая:
степенной ряд (8,4) сходится только при х = с (всюду расходящийся ряд);
степенной ряд (8.4) сходится (притом абсолютно) при любом значении х (всюду сходящийся ряд);
существует число R>0 такое, что ряд (8.4) сходится абсолютно при | х — с | < Л и расходится при | х—с | > R (R — радиус сходимости ряда).
Кроме того, считают: R=0 для всюду расходящегося ряда и Л = +оо для всюду сходящегося ряда.
Интервал ]с — R, c+R[, R>0, называют интервалом сходимости степенного ряда (8.4). При этом на концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.
О Пример.. Найдем область сходимости степенного ряда
X Xі х*
— + : + ...+ + ....
1-2 2 22
Я • 4.
Положим ип=^—, w„+i=— . Тогда
иГ'.Д-2" |х| „ х
lim = lim —— bm =—.
л-» ц, я_,00(п-(-І)2',+ 1 х \" ^ «-"0ІІ+1 2
По признаку Даламбера степенной ряд сходится абсолютно при | х | < 2, а при [ х | > 2 абсолютной сходимости у него нет. Следовательно, радиус сходимости ряда R = 2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при х = 2 ряд 11-11
2 + 2 + 3 + ■■ + + •■• расходится, а при х=—2 ряд
— -+— + ... + (— 1)"+ ... сходится. Таким образом, область 12 3л
сходимости степенного ряда D = [ —2, 2[. #
Основные свойства степенных рядов
Г. Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.
2°. Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если
а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)'' + ...=/(х), xeCl,
то
і ^ (*-с) л- <*-с>"+ г ft ^A
а0(х-с) + а1 + ... + а„ + ... = Дх)йх.
2 л+1 с
3°. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если
а0 + Оі (х-с) + аг (х-с)2 +... + а„ (х-с)"+... =f(x),
xe]c-R, c + R[, R>0,
то
al+2a2{x-c) + ... + nan (х-c)"~1 +... =/' (x), xe]c-R, c+R[.
Это утверждение сохраняет силу и для конца интервала сходимости, если только последний ряд на этом конце сходится. 4°. Если степенной ряд
а0 + й! (х-с)+а2(х—с)г + ... + а„(х—с)"+...
не является всюду расходящимся, то его сумма f(x) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом
г/ч гч f'{c) ^(с) a0=f(c), ai=f (с), а2=—-,ай = -~-, ....
2! . л!
8.8. Разложение функций в степенные ряды
Если функция f(x) имеет производные всех порядков при Х~С, то степенной ряд
f(c)+^(x-c) + ...+f^(x-c)" + ... (8.5)
1! л!
называют рядом Тейлора для функции f(x). При с = 0 ряд (8.5) называется рядом Маклорена.
Для того чтобы ряд (8.5) сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы
lim Д,(л;) = 0,
где
Д,(х)=^—/я+1)[с + б.(х-с)], О<0<1. (л+1)!
Таблица разложений в степенной ряд некоторых функций
+ ... + + ... = е, -со<х<+оо; 1! 2! л!
X X , j .я X
h—... + (-1) + ...=smx,
1! З! 5! (2л + 1)!
~ао<х< + со;
1 + ... + (-1) — + ..=cosx,
2! 4! (2яУ.
— со<х< 4-оо;
х X п X
х 1 ... + (-1) K.. = arctgx, |х|ї$1;
3 5 2л+1
л_^+---+...+(-1)"-1-4-...=1П(]4-х), 2 3 4 л
m(m-l) 2 /я(лі-1)...(т-«4-1) „
1+nwH jt + ..H x +...=
2! л!
= (1+*)".|*|<1.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы