12.6. интерполирование сплайнами

12.6. интерполирование сплайнами

Чтобы повысить точность аппроксимации функции интерполяционными многочленами, необходимо увеличить число узлов интерполяции, что приводит к увеличению степени этих многочленов. Разбиение же заданного отрезка на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена неудобно тем, что «на стыках» первая производная двух соседних интерполяционных многочленов может терпеть разрыв. Поэтому во многих задачах удобнее использовать сплайны.

341

Разобьем заданный отрезок [а, Ь] на и частей точками а = = х()<х1<...<хп = Ь. Сплайном Sm(x) называется функция, определенная на отрезке [а, Ь] и имеющая на нем непрерывную производную (т 1)-го порядка, которая на каждом частичном отрезке [х., х.+1] совпадает с некоторым многочленом степени не выше т; при этом хотя бы на одном из частичных отрезков степень многочлена точно равна т.

Сплайн, принимающий в узлах хр те же значения f., что и некоторая функция fix), называется интерполяционным.

На практике широко применяют сплайны третьей степени (кубические сплайны S3ix)). Для построения интерполяционного кубического сплайна разобьем отрезок [а, Ь] на и равных частичных отрезков длины Л = (й а)/п. В этом случае кубический сплайн на отрезке [Хр хі+1], і = О, 1,т 1, запишется в следующем виде:

_ (х,+1-х)2(2(х-х,) + /г) , jx-xi)2i2jxi+l-x) + h)

°з w Гз Ji + Гз Ji+l +

h h

(xi+1 xfjx -xt) (хXi)2jx xi+1)

h h

где nip mi+i — некоторые числа. При этом S'3(x?) = mp S'3(xM) = mi+v Кубический сплайн (12.5) на каждом из промежутков [х., х.+1] непрерывен вместе со своей первой производной всюду на [а, Ь]. Выберем величины /и. так, чтобы была непрерывна и вторая производная. Условие непрерывности второй производной в точках х. принимает вид

3

л\%_! + 4/и,. + щ+1 -ifi+1 fi_{), і 1,2,и -1. (12.6)

Выражение (12.6) — система линейных алгебраических уравнений относительно т.. Для однозначного определения т. добавляют еще два условия. Эти условия задают в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах промежутка [а, Ь] и называют краевыми.

Существуют различные виды краевых условий, наиболее употребительные из них следующие:

I. ЯЦа) = fid), II. S;a) = f'ia), III. Sf>(«) = S?),

S№ = f'(b). S'№ = f"ib). r=l,2.

342

В случае краевых условий типа I система уравнений для определения mi имеет вид

Щ = /о. . тп /»'.

3

щ_х + Ащ + щ+1 = /м), і = 1,2,п -1.

Для краевых условий типа II система уравнений для определения mj такова:

2щ+щ = |(/i-/0)-|/o"

• 2тп + ™п= |(Л fn-i) + fZ З

щ_х + Апц + тм = -(fl+l /м), і = 1,2,п -1.

Условия типа III называются периодическими. Их применяют в том случае, если интерполируемая функция /(х) периодическая с периодом Ъ-а.

Если fix) — периодическая функция, то, полагая^, =fn, fn+l = fv т0 = тп, ту = тп+1, можно записать следующую систему для определения т.:

3

Amx + ml + mn= ~if2 /0), 3

«+ 4/иг+ mi+l = -ifi+l f_y), і = 2,n -1, (12.7) З

щ + ™п+ 4тп = -jiA fn-l)Матрицы систем во всех трех случаях не вырождены, поэтому системы имеют решение, и притом единственное. Решив соответствующую заданным краевым условиям систему уравнений, находят їй. Затем по формуле (12.5) строят сплайн на каждом частичном отрезке [х.,х.+1].

О Пример. Провести сплайн-интерполяцию функции fix) = sinx, п = 4.

343

Функция fix) sinx — периодическая:

Составляем и решаем систему уравнений (12.7):

л =

6-а _ тс n 2' 4»*! + щ + m4 = О,

/Wj + 4/И2 + WJj -12/л,

/и.

/и2 + 4/«з + тА = О, + /TTj + 4/я4 = 12/я.

Решив систему, имеем: т1 = т3 = О, /и2 = -3/я, /и4 = 3/я. В силу периодичности функции/(х) = sinx, т0 = т4 = 3/я. Подставляя /и.в формулу (12.5), получим сплайн-функцию:

Я3 71

(х-я) (*-Я),

Я

з 3

(х я) —(х я), я

7t

О < х <

< х < л,

я < х < -я, 2

-^(^ 2я)3 + -(х 2л),

-л < х < 2л.