5.8. производная и дифференциал сложной функции

5.8. производная и дифференциал сложной функции

Если функция и = gix) дифференцируема в точке х0, а функция у = f{u) дифференцируема в соответствующей точке и0 = g(x0), то сложная функция у = Ф(х) = figix)) также дифференцируема в точке х0, причем

dy dy du

, или Ф'(х0) = f'{u0)g'{x0).

dx du dx

140

Справедливо равенство

dy = Ф'(х0) dx=f'(u0)du,

где du = g'(x0) dx, т.е. дифференциал равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной независимо от того, является ли эта переменная независимой или функцией другой переменной (инвариантность формы первого дифференциала).

О Примеры.

Производная функции у = 3C0S 2х равна

у = 3coS52x m3(cos5 2ху = 3<™52x Ш . 5cos4 2X(C0S2X)' =

= 51n3 • З008'2* cos4 2x(-sin2x)(2x)' =

= -ІОІпЗ ■ sin2xcos4 2x ■ З^230.

Дифференциал функции у tg46x равен

dy = 4tg36xd(tg6x) = 4tg36x——d(6x) =

cos 6x

24tg36xj 24sin36xJ

= j dx = ; dx.

cos 6x cos 6x

1 + x2

3. Вычислить производную функции у = In л (х < 1).

V 1-х

Предварительно преобразуем эту функцию к виду

у = -1п(1 + х2)--1п(1-х). 4 4

Тогда

1 2х 1 -1 2х + 1-х2

У =

4 1 + х2 4 1-х 4(1-х)(1 + х2)