1.25. числовые множества. грани числового множества

1.25. числовые множества. грани числового множества

Множество натуральных чисел

N = {«} = {1,2,...,«,...}. Множество целых чисел

Z = М и {0} и {-и} = {0, ±1, ±2, ±3,±п,...}. Множество рациональных чисел

Q = |^|, mepeZ, gsZ, q*0.

Множество действительных (вещественных) чисел R= {х}. Имеет место такое последовательное включение:

N с Z с= Q с R.

Все указанные числовые множества обладают свойством упорядоченности, т.е. для любых двух различных элементов а и Ъ любого из данных множеств можно сказать, что либо а > Ъ, либо а < Ь. Кроме того, выполняется свойство транзитивности: ша>ЬмЬ>с следует, что а>с.

Множества Q и R являются всюду плотными множествами. Это означает, что между любыми двумя различными элементами а и Ь любого из указанных множеств найдется хотя бы один элемент этого же множества. Таким элементом является, например, эле-а + Ь

менте = .

2

Множество R обладает важным свойством непрерывности, оно постулирует возможность установления взаимно однозначного соответствия (см. п. 1.23) между множеством действительных чисел и множеством точек на прямой линии.

Пусть А = {х} — некоторое непустое множество действительных чисел.

Множество Л называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число Этакое, что для всех х є А выполняется неравенство х < К (х > К).

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Множество называют ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

34

Наименьшую из верхних граней множества А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают символом svpA (супремум А).

Наибольшую из нижних граней множества А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают символом т£А (инфимумЛ).

Свойства точной верхней и точной нижней граней:

Г. Для любого элемента х є А выполняется неравенство x<su$A (x>mL4).

2°. Для любого числа є > 0 найдется элемент х є А такой, что x>supA-e (x<iafA + e).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

О Примеры.

А = ]а, Ь[ = {х | а < х < Ь) — ограниченный открытый интервал. Здесь $щ>А = b, іпїА = а не принадлежат данному множеству.

А = [а, Ь] = {х | а < х < Ь} — ограниченный замкнутый интервал или отрезок. Здесь sup^4 = b, mL4 = а принадлежат данному множеству.

А = ]-оо, а[ = {х | -оо < х < а}; В = ]а, +°°[ = {х | а < х < +°°}; R = ]-°°; +оо[ — неограниченные открытые интервалы. Здесь sup^4 = a, inffi = а не принадлежат указанным множествам.

А = [а, Ь[ = {х | а < х < Ь}; В = ]а, b] = {х а < х < Ь); С= ]-°°; а] = = {х | -оо <х< a}; D= [а, +°°[ = {х а <х< +°°} — полуоткрытые интервалы. Здесь mfA a, sup В = Ъ, supC = a, infD = а принадлежат указанным множествам; sup^4 = b, infS = а не принадежат им. •